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Lösung Normalenvektor Ebene

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/04/27 16:10

  1. Der Normalenvektor wird durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden Spannvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) berechnet:

    \[\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\]

    *(Optional: Durch Kürzen mit dem Faktor 0,5 erhält man den einfacheren Normalenvektor \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)).*

  2. Wir nutzen das Skalarprodukt. Ein Vektor ist orthogonal zu einem anderen, wenn das Skalarprodukt den Wert 0 ergibt. (Rechnung mit dem gekürzten Vektor):

    1. Prüfung gegen den ersten Spannvektor:
      \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 2 - 2 + 0 = 0\)

    2. Prüfung gegen den zweiten Spannvektor:
    \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0 - 2 + 2 = 0\)

    Damit ist bewiesen, dass \(\vec{n}\) senkrecht auf der Ebene steht.

  3. Der Mitschüler hat keinen Fehler gemacht. Da ein Normalenvektor nur die Richtung senkrecht zur Ebene festlegt, ist jede skalare Multiplikation (Streckung oder Stauchung) eines Normalenvektors ebenfalls ein gültiger Normalenvektor.

    Es gilt:
    \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

    Der Vektor des Mitschülers ist also lediglich das Inverse (Gegenvektor) unseres gekürzten Normalenvektors. Er zeigt in die entgegengesetzte Richtung, steht aber immer noch im 90°-Winkel auf der Ebene.