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Wiki-Quellcode von Lösung Normalenvektor Ebene

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/04/27 16:10
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1 (%class=abc%)
2 1. (((Der Normalenvektor wird durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden Spannvektoren {{formula}}\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}{{/formula}} berechnet:
3
4 {{formula}}
5 \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}
6 {{/formula}}
7
8 *(Optional: Durch Kürzen mit dem Faktor 0,5 erhält man den einfacheren Normalenvektor {{formula}}\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}).*
9 )))
10 1. (((Wir nutzen das Skalarprodukt. Ein Vektor ist orthogonal zu einem anderen, wenn das Skalarprodukt den Wert 0 ergibt. (Rechnung mit dem gekürzten Vektor):
11
12 1. Prüfung gegen den ersten Spannvektor:
13 {{formula}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 2 - 2 + 0 = 0{{/formula}}
14
15 2. Prüfung gegen den zweiten Spannvektor:
16 {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0 - 2 + 2 = 0{{/formula}}
17
18 Damit ist bewiesen, dass {{formula}}\vec{n}{{/formula}} senkrecht auf der Ebene steht.
19 )))
20 1. (((Der Mitschüler hat keinen Fehler gemacht. Da ein Normalenvektor nur die **Richtung** senkrecht zur Ebene festlegt, ist jede skalare Multiplikation (Streckung oder Stauchung) eines Normalenvektors ebenfalls ein gültiger Normalenvektor.
21
22 Es gilt:
23 {{formula}}\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
24
25 Der Vektor des Mitschülers ist also lediglich das Inverse (Gegenvektor) unseres gekürzten Normalenvektors. Er zeigt in die entgegengesetzte Richtung, steht aber immer noch im 90°-Winkel auf der Ebene.
26 )))