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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/27 12:11
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((Man kann an den beiden Geradengleichungen direkt ablesen, dass sie denselben Stützvektor besitzen. Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten somit: {{formula}} S(3|-3|3) {{/formula}}.
3
4 Damit die Geraden senkrecht zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein:
5 {{formula}}
6 \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 3 + 0 - 3 = 0
7 {{/formula}}
8 Da das Skalarprodukt gleich null ist, stehen die Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht aufeinander.)))
9 1. (((Da die Ebene {{formula}} E {{/formula}} beide Geraden enthält, spannen die beiden Richtungsvektoren der Geraden die Ebene auf. Um die Ebenengleichung in Koordinatenform zu bestimmen, benötigen wir einen Normalenvektor {{formula}} \vec{n} {{/formula}}, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.
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11 Da beide Richtungsvektoren als {{formula}} x_2 {{/formula}}-Koordinate eine {{formula}} 0 {{/formula}} besitzen, liegen sie parallel zur {{formula}} x_1 x_3 {{/formula}}-Ebene. Ein Vektor, der darauf senkrecht steht, ist der Einheitsvektor der {{formula}} x_2 {{/formula}}-Achse:
12 {{formula}} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}}
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14 //Alternativ können wir den Normalenvektor über das Kreuzprodukt berechnen: {{formula}} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}}//
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17 Die allgemeine Form der Koordinatengleichung lautet somit: {{formula}}E: x_2=c{{/formula}} mit {{formula}}c\in \mathbb{R}{{/formula}}.
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19 Da {{formula}}(3|-3|3) \in E{{/formula}}, setzen wir den Punkt ein und erhalten {{formula}}c=-3{{/formula}}.
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21 Die Koordinatengleichung der Ebene lautet somit {{formula}} E: x_2 = -3 {{/formula}})))