Lösung Grashalme

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**Variante 1: Offene Aufgabe für den Unterricht**

//Analyse: //

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht.

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//Durchführung: //

9

SuS entwickeln Skizzen und erhalten Einblick in Problemstruktur. Erkennen die Notwendigkeit der Problemvereinfachung, überprüfen diese hinsichtlich ihrer Zulässigkeit.

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* Verringerung der Anzahl an Halmen für Verständnis notwendig (Reduktion)

12

* Nur eine gerade Anzahl an Halmen ist sinnvoll (Einblick in Problemstruktur)

13

* Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Skizze in der Form begonnen werden, dass die oben verknoteten Halme nebeneinander liegen (Grafische Darstellung, Vereinfachung,…)

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[[image:Grashalme.PNG||width="540"]]

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SuS ermitteln die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 Halmen ein einziger großer Ring aus Gras entsteht:

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[[image:4Grashalme.PNG||width="600"]]

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21

Beispielhafte Argumentation: Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen.

22

Wird es jedoch mit C oder D verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also {{formula}} \frac{2}{3} {{/formula}}.

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SuS übertragen auf Situation mit 6 Halmen:

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[[image:6Grashalme.PNG||width="650"]]

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Beispielhafte Argumentation:

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Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen. Wird es jedoch mit C, D, E oder F verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also {{formula}} \frac{4}{5} {{/formula}}.

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31

Angenommen A würde mit C verknotet. (Die Enden D, E und F sind aus Symmetriegründen völlig gleichwertig.) Dann blieben für B noch die Enden D, E und F übrig. Falls B mit D verbunden würde, könnte kein großer Ring mehr entstehen, wohl aber in den beiden anderen Fällen.

32

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verknotung nicht falsch ist, beträgt somit {{formula}} \frac{2}{3} {{/formula}}.

33

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35

Für D bliebe jetzt nur noch ein Ende übrig.

36

Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass beim paarweisen Verknoten der Halme ein Ring

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entsteht:

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39

{{formula}}P = \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}= \frac{8}{15} \approx 53,3 \%{{/formula}}

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//Reflexion: //

42

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit liegt bei über 50%.

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Der Lösungensweg wird insbesondere dahingehend beurteilt, ob notwendige Problemlösestrategien erkannt und angewendet wurden.

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Hinweis: Die Lösungen der „kleineren Klassenarbeitsvarianten“ entsprechen Teilen der Lösungen der

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offenen Aufgabe.

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author	version	line-number	content
		1	{{lehrende}}
		2	Variante 1: Offene Aufgabe für den Unterricht
		3	{{/lehrende}}
		4
		5	//Analyse: //
		6	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht.
		7
		8	//Durchführung: //
		9	SuS entwickeln Skizzen und erhalten Einblick in Problemstruktur. Erkennen die Notwendigkeit der Problemvereinfachung, überprüfen diese hinsichtlich ihrer Zulässigkeit.
		10
		11	* Verringerung der Anzahl an Halmen für Verständnis notwendig (Reduktion)
		12	* Nur eine gerade Anzahl an Halmen ist sinnvoll (Einblick in Problemstruktur)
		13	* Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Skizze in der Form begonnen werden, dass die oben verknoteten Halme nebeneinander liegen (Grafische Darstellung, Vereinfachung,…)
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		17	SuS ermitteln die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 Halmen ein einziger großer Ring aus Gras entsteht:
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		21	Beispielhafte Argumentation: Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen.
		22	Wird es jedoch mit C oder D verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also {{formula}} \frac{2}{3} {{/formula}}.
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		24	SuS übertragen auf Situation mit 6 Halmen:
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		28	Beispielhafte Argumentation:
		29	Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen. Wird es jedoch mit C, D, E oder F verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also {{formula}} \frac{4}{5} {{/formula}}.
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		31	Angenommen A würde mit C verknotet. (Die Enden D, E und F sind aus Symmetriegründen völlig gleichwertig.) Dann blieben für B noch die Enden D, E und F übrig. Falls B mit D verbunden würde, könnte kein großer Ring mehr entstehen, wohl aber in den beiden anderen Fällen.
		32	Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verknotung nicht falsch ist, beträgt somit {{formula}} \frac{2}{3} {{/formula}}.
		33
		34
		35	Für D bliebe jetzt nur noch ein Ende übrig.
		36	Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass beim paarweisen Verknoten der Halme ein Ring
		37	entsteht:
		38
		39	{{formula}}P = \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}= \frac{8}{15} \approx 53,3 \%{{/formula}}
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		41	//Reflexion: //
		42	Die gesuchte Wahrscheinlichkeit liegt bei über 50%.
		43	Der Lösungensweg wird insbesondere dahingehend beurteilt, ob notwendige Problemlösestrategien erkannt und angewendet wurden.
		44
		45	{{lehrende}}
		46	Hinweis: Die Lösungen der „kleineren Klassenarbeitsvarianten“ entsprechen Teilen der Lösungen der
		47	offenen Aufgabe.
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Wiki-Quellcode von Lösung Grashalme