Lösung Grashalme

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/22 22:00

Analyse: 
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht.

Durchführung: 
SuS entwickeln Skizzen und erhalten Einblick in Problemstruktur. Erkennen die Notwendigkeit der Problemvereinfachung, überprüfen diese hinsichtlich ihrer Zulässigkeit.

  • Verringerung der Anzahl an Halmen für Verständnis notwendig (Reduktion)
  • Nur eine gerade Anzahl an Halmen ist sinnvoll (Einblick in Problemstruktur)
  • Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Skizze in der Form begonnen werden, dass die oben verknoteten Halme nebeneinander liegen (Grafische Darstellung, Vereinfachung,…)

Grashalme.PNG

SuS ermitteln die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 Halmen ein einziger großer Ring aus Gras entsteht:

4Grashalme.PNG

Beispielhafte Argumentation: Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen.
Wird es jedoch mit C oder D verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also \frac{2}{3} .

SuS übertragen auf Situation mit 6 Halmen:

6Grashalme.PNG

Beispielhafte Argumentation:
Wird das Ende A mit dem Ende B verbunden, kann kein einzelner großer Ring mehr entstehen. Wird es jedoch mit C, D, E oder F verknotet, bleibt diese Ringbildung möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der ersten Verknotung kein Missgeschick passiert, beträgt also \frac{4}{5} .

Angenommen A würde mit C verknotet. (Die Enden D, E und F sind aus Symmetriegründen völlig gleichwertig.) Dann blieben für B noch die Enden D, E und F übrig. Falls B mit D verbunden würde, könnte kein großer Ring mehr entstehen, wohl aber in den beiden anderen Fällen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verknotung nicht falsch ist, beträgt somit \frac{2}{3} .

Für D bliebe jetzt nur noch ein Ende übrig.
Insgesamt beträgt also die Wahrscheinlichkeit, dass beim paarweisen Verknoten der Halme ein Ring
entsteht:

        P = \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}= \frac{8}{15} \approx 53,3 \%

Reflexion: 
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit liegt bei über 50%.
Der Lösungensweg wird insbesondere dahingehend beurteilt, ob notwendige Problemlösestrategien erkannt und angewendet wurden.