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Lösung Steigungswinkel von Geraden

Zuletzt geändert von Simone Schuetze am 2026/04/30 14:38

a) Zeichnung

Die Geraden werden mithilfe des y-Achsenabschnitts und eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.

Bei \(f(x)=0{,}5x\) gilt:

\[m_f=\frac{1}{2}=0{,}5\]

Bei \(g(x)=2x+3\) gilt:

\[m_g=\frac{2}{1}=2\]

Steigungswinkel.png

b) Stellungnahme zur Aussage

In der Zeichnung erkennt man:

\[m_g=4\cdot m_f\]

Denn:

\[2=4\cdot0{,}5\]

Der erste Teil der Aussage stimmt also:
Die Gerade \(g\) ist viermal so steil wie die Gerade \(f\).

Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sehen aber nicht so aus, als wäre \(\beta\) viermal so groß wie \(\alpha\).

Zur Überprüfung nutzt man den Tangens, da im Steigungsdreieck die Gegenkathete und die Ankathete gegeben sind:

\[\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]

Für \(f\):

\[\tan(\alpha)=\frac{1}{2}=0{,}5\]
\[\alpha=\tan^{-1}(0{,}5)\approx26{,}6^\circ\]

Für \(g\):

\[\tan(\beta)=\frac{2}{1}=2\]
\[\beta=\tan^{-1}(2)\approx63{,}4^\circ\]

Vergleich:

\[4\cdot26{,}6^\circ=106{,}4^\circ\]

Das ist nicht \(63{,}4^\circ\).

Die Aussage, dass der Winkel von \(g\) viermal so groß ist wie der Winkel von \(f\), ist also falsch.

c) Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel

Im Steigungsdreieck gilt allgemein:

\[\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]

Die Steigung einer Geraden ist:

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Da im Steigungsdreieck gilt:

\[\text{Gegenkathete}=\Delta y\]

und

\[\text{Ankathete}=\Delta x\]

folgt:

\[\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=m\]

Also gilt:

\[m=\tan(\alpha)\]