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Zuletzt geändert von Simone Schuetze am 2026/04/30 14:38
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1 a) Zeichnung
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3 Die Geraden werden mithilfe des y-Achsenabschnitts und eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.
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5 Bei {{formula}}f(x)=0{,}5x{{/formula}} gilt:
6
7 {{formula}}m_f=\frac{1}{2}=0{,}5{{/formula}}
8
9 Bei {{formula}}g(x)=2x+3{{/formula}} gilt:
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11 {{formula}}m_g=\frac{2}{1}=2{{/formula}}
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13 [[image:Steigungswinkel.png||width=600]]
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15 b) Stellungnahme zur Aussage
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17 In der Zeichnung erkennt man:
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19 {{formula}}m_g=4\cdot m_f{{/formula}}
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21 Denn:
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23 {{formula}}2=4\cdot0{,}5{{/formula}}
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25 Der erste Teil der Aussage stimmt also:
26 Die Gerade {{formula}}g{{/formula}} ist viermal so steil wie die Gerade {{formula}}f{{/formula}}.
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28 Die Winkel {{formula}}\alpha{{/formula}} und {{formula}}\beta{{/formula}} sehen aber nicht so aus, als wäre {{formula}}\beta{{/formula}} viermal so groß wie {{formula}}\alpha{{/formula}}.
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30 Zur Überprüfung nutzt man den Tangens, da im Steigungsdreieck die Gegenkathete und die Ankathete gegeben sind:
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32 {{formula}}\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}{{/formula}}
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34 Für {{formula}}f{{/formula}}:
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36 {{formula}}\tan(\alpha)=\frac{1}{2}=0{,}5{{/formula}}
37
38 {{formula}}\alpha=\tan^{-1}(0{,}5)\approx26{,}6^\circ{{/formula}}
39
40 Für {{formula}}g{{/formula}}:
41
42 {{formula}}\tan(\beta)=\frac{2}{1}=2{{/formula}}
43
44 {{formula}}\beta=\tan^{-1}(2)\approx63{,}4^\circ{{/formula}}
45
46 Vergleich:
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48 {{formula}}4\cdot26{,}6^\circ=106{,}4^\circ{{/formula}}
49
50 Das ist nicht {{formula}}63{,}4^\circ{{/formula}}.
51
52 Die Aussage, dass der Winkel von {{formula}}g{{/formula}} viermal so groß ist wie der Winkel von {{formula}}f{{/formula}}, ist also falsch.
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54 c) Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel
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56 Im Steigungsdreieck gilt allgemein:
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58 {{formula}}\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}{{/formula}}
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60 Die Steigung einer Geraden ist:
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62 {{formula}}m=\frac{\Delta y}{\Delta x}{{/formula}}
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64 Da im Steigungsdreieck gilt:
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66 {{formula}}\text{Gegenkathete}=\Delta y{{/formula}}
67
68 und
69
70 {{formula}}\text{Ankathete}=\Delta x{{/formula}}
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72 folgt:
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74 {{formula}}\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=m{{/formula}}
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76 Also gilt:
77
78 {{formula}}m=\tan(\alpha){{/formula}}