Lösung Analysis 2

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/15 20:43

Erwartungshorizont (offiziell)

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von an.

Lösung
Der Funktionsterm besteht aus zwei Summanden. Der zweite Summand $e^{4x}$ geht gegen Null für sehr kleine Werte von

$\lim \limits_{x \rightarrow - \infty} e^{4x} = 0$

Folglich nähert sich der Graph der Funktion für sehr kleine

dem Graphen des ersten Summanden an, also einer Geraden mit Steigung

. Das ist die Asymptote. Ihre Gleichung lautet
y=-2x

Erwartungshorizont (offiziell)

$f^\prime(x)=-2+4\cdot e^{4x}=2 \ \Leftrightarrow \ e^{4x}=1 \ \Leftrightarrow \ x=0$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Bestimme den x-Wert, an dem der Graph von die Steigung hat.

Lösung
An der Stelle, an der der Graph die Steigung

hat, muss die erste Ableitung den Wert

haben; es gilt $f^\prime(x)=2$ . Diese Gleichung kann nach

aufgelöst werden:
$f^\prime(x)=-2+4\cdot e^{4x}=2 \ \Leftrightarrow \ e^{4x}=1 \ \Leftrightarrow \ x=0$

Erwartungshorizont (offiziell)

$f^{\prime \prime}(x)=16\cdot e^{4x}$
Da gilt, dass $e^{4x}\neq 0$ , hat die Gleichung $f^{\prime \prime}(x)=0$ keine Lösung und der Graph von

damit keinen Wendepunkt.

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Zeige, dass der Graph von keinen Wendepunkt hat.

Lösung

An einer Wendestelle muss die zweite Ableitung den Wert 0 haben (die Krümmung verschwindet).

$f^{\prime \prime}(x)=16\cdot e^{4x}$

Da gilt, dass $e^{4x}\neq 0$ , hat die Gleichung $f^{\prime \prime}(x)=0$ keine Lösung und der Graph von

damit keinen Wendepunkt.

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