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2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz I

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/02/08 14:34

Gegeben ist die in \mathbb{R} definierte Funktion f durch f\left(x\right)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}. Ihr Graph ist K.

  1. [6 BE]Einer der drei Graphen entspricht K. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um K handeln kann.
    GraphKOptionen.png
  2. [5 BE]Berechne  die Koordinaten aller Punkte, an denen K eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.
  3. [1 BE]Weise nach, dass f bei x=2 eine Nullstelle hat.

Neben dem Wendepunkt W\left(2\middle|0\right) besitzt K einen weiteren Wendepunkt S\left(0\middle| f(0)\right). Der Punkt P\left(1|\frac{4}{3}\right) liegt oberhalb des Graphen von f.

  1. [6 BE] Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt P schneiden.
  2. [4 BE]Das Dreieck PSW wird von K in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von K.
Bewertungseinheiten gesamt   22
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
1.1 a6II       II    I   X
b    5I        I  I     X 
c    1I           I     X 
d    6II       II II     X
e    4II III   IIIIIIII   X

Die CO2-Konzentration in der Atmosphäre wird seit 1958 durchgehend gemessen. Dabei sind die jährlichen Werte der Jahre 2012 bis 2022 in folgender Tabelle eingetragen. Die CO2-Konzentration wird in Millionstel (ppm, „parts per million“) angegeben.

JahrCO2 (ppm)
2012394,06
2013396,74
2014398,81
2015401,01
2016404,41
2017406,76
2018408,72
2019411,65
2020414,21
2021416,41
2022418,53

Quelle:
Dr. Pieter Tans, NOAA/GML and Dr. Ralph Keeling, Scripps Institution of Oceanography
URL: https://gml.noaa.gov/ccgg/trends/data.html, heruntergeladen am 15.05.2023

  1. [2 BE]Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate der CO2-Konzentration im Zeitraum 2012 bis 2022.
  2. [6 BE]Ermittle ein mathematisches Modell für den gegebenen Verlauf der CO2-Konzentration. Gib dazu eine geeignete Funktionsgleichung an. Begründe deine Auswahl.
  3. [2 BE]Berechne die CO2-Konzentration, die laut Ihrem Modell im Jahr 2100 zu erwarten ist.
  4. [3 BE]Deute im Sachzusammenhang, warum ein mathematisches Modell, das auf Messungen innerhalb der Jahre 2012 bis 2022 beruht, nicht grundsätzlich für eine Vorhersage der CO2-Konzentration im Jahr 2100 verwendet werden kann.
  5. [5 BE]Der Verlauf der monatlichen Mittelwerte der CO2-Konzentration ist für die Jahre 2019 bis 2022 in der Abbildung dargestellt. Darin sind neben einem langfristigen Trend auch die Schwankungen innerhalb eines Jahres zu erkennen.
    CO2Konzentration2019bis2022.png
    Entscheide, welche der folgenden Funktionen den abgebildeten Zusammenhang am besten wiedergibt. Begründe deine Auswahl.
    f(x)=0,19x+2,95\cdot\sin (0,53\cdot\left(x-0,17\right))+410,7
    g(x)=3,14\cdot\sin(0,53\cdot\left(x+0,14\right))+415,3
    h(x)=0,21x\cdot2,84\cdot\sin(0,51\cdot\left(x-0,24\right))+411,2
    j(x)=0,18x+3,09\cdot\sin(1,29\cdot\left(x-0,09\right))+409,2
Bewertungseinheiten gesamt   18
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
1.2 a2      I  I  I     X 
b    6II    II II II II  X
c    2      I     I     X 
d    3II    III      III  X
e    5II    IIIII IIIII   X