Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1
Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 17:35
Zusammenfassung
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Details
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... ... @@ -7,6 +7,23 @@ 7 7 </p> 8 8 {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. 9 9 {{/detail}} 10 + 11 + 12 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 13 +//Aufgabenstellung// 14 +<br><p> 15 +Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann. 16 +[[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 17 +</p> 18 +//Lösung// 19 +<br><p> 20 +{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. 21 +</p><p> 22 +{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. 23 +</p> 24 +{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein. 25 +{{/detail}} 26 + 10 10 === Teilaufgabe b) === 11 11 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 12 12 <p> ... ... @@ -19,15 +19,55 @@ 19 19 {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}} 20 20 {{/detail}} 21 21 39 + 40 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 41 +//Aufgabenstellung// 42 +<br><p> 43 +Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt. 44 +</p> 45 +//Lösung// 46 +<br> 47 +Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt: 48 +<br><p> 49 +{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}} 50 +</p> 51 +An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann: 52 +<br><p> 53 +{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}} 54 +</p> 55 +Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt. 56 +<br> 57 +{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}} 58 +<br> 59 +(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.) 60 +<br> 61 +{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}} 62 +<br> 63 +(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.) 64 +{{/detail}} 65 + 22 22 === Teilaufgabe c) === 23 23 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 24 24 {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}} 25 25 {{/detail}} 26 26 71 + 72 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 73 +//Aufgabenstellung// 74 +<br><p> 75 +Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat. 76 +</p> 77 +//Lösung// 78 +<br> 79 +Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt: 80 +<br> 81 +{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}} 82 +{{/detail}} 83 + 27 27 === Teilaufgabe d) === 28 28 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 29 29 <p> 30 -Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}} 87 +Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}} 31 31 </p><p> 32 32 Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}} 33 33 </p> ... ... @@ -36,6 +36,33 @@ 36 36 Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten. 37 37 {{/detail}} 38 38 96 + 97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 98 +//Aufgabenstellung// 99 +<br><p> 100 +Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}. 101 +<br> 102 +Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden. 103 +</p> 104 +//Lösung// 105 +<br> 106 +Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen: 107 +<br> 108 +[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 109 +<br><p> 110 +Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}} 111 +</p> 112 +Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe): 113 +<br></p> 114 +{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}} 115 +</p><p> 116 +Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben: 117 +</p> 118 +{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}. 119 +<br> 120 +Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten. 121 +{{/detail}} 122 + 39 39 === Teilaufgabe e) === 40 40 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 41 41 <p> ... ... @@ -53,3 +53,33 @@ 53 53 </p> 54 54 Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}} 55 55 {{/detail}} 140 + 141 + 142 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 143 +//Aufgabenstellung// 144 +<br><p> 145 +Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}. 146 +</p> 147 +//Lösung// 148 +<br> 149 +Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche: 150 +<br> 151 +[[image:1e)Hinweis1.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 152 +<br> 153 +Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also: 154 +<br><p> 155 +{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}} 156 +</p> 157 +Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW, der unterhalb des Graphen von f liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks OWS: 158 +<br> 159 +{{formula}} 160 +\begin{align*} 161 +A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\ 162 +&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15} 163 +\end{align*} 164 +{{/formula}} 165 +<br> 166 +Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also: 167 +<br> 168 +{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}} 169 +{{/detail}}
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