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Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 17:35
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,6 +7,23 @@
7 7  </p>
8 8  {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
9 9  {{/detail}}
10 +
11 +
12 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 +//Aufgabenstellung//
14 +<br><p>
15 +Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann.
16 +[[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 +</p>
18 +//Lösung//
19 +<br><p>
20 +{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
21 +</p><p>
22 +{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
23 +</p>
24 +{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
25 +{{/detail}}
26 +
10 10  === Teilaufgabe b) ===
11 11  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
12 12  <p>
... ... @@ -19,15 +19,55 @@
19 19  {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
20 20  {{/detail}}
21 21  
39 +
40 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
41 +//Aufgabenstellung//
42 +<br><p>
43 +Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.
44 +</p>
45 +//Lösung//
46 +<br>
47 +Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
48 +<br><p>
49 +{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
50 +</p>
51 +An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
52 +<br><p>
53 +{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
54 +</p>
55 +Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
56 +<br>
57 +{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
58 +<br>
59 +(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
60 +<br>
61 +{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
62 +<br>
63 +(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
64 +{{/detail}}
65 +
22 22  === Teilaufgabe c) ===
23 23  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
24 24  {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
25 25  {{/detail}}
26 26  
71 +
72 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73 +//Aufgabenstellung//
74 +<br><p>
75 +Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
76 +</p>
77 +//Lösung//
78 +<br>
79 +Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
80 +<br>
81 +{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
82 +{{/detail}}
83 +
27 27  === Teilaufgabe d) ===
28 28  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
29 29  <p>
30 -Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
87 +Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
31 31  </p><p>
32 32  Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
33 33  </p>
... ... @@ -36,6 +36,33 @@
36 36  Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
37 37  {{/detail}}
38 38  
96 +
97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +//Aufgabenstellung//
99 +<br><p>
100 +Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
101 +<br>
102 +Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
103 +</p>
104 +//Lösung//
105 +<br>
106 +Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107 +<br>
108 +[[image:1d)Hinweis2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109 +<br><p>
110 +Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111 +</p>
112 +Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113 +<br><p>
114 +{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115 +</p><p>
116 +Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117 +<br>
118 +{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119 +<br>
120 +Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121 +{{/detail}}
122 +
39 39  === Teilaufgabe e) ===
40 40  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
41 41  <p>
... ... @@ -53,3 +53,35 @@
53 53  </p>
54 54  Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
55 55  {{/detail}}
140 +
141 +
142 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
143 +//Aufgabenstellung//
144 +<br><p>
145 +Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
146 +</p>
147 +//Lösung//
148 +<br>
149 +Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
150 +<br>
151 +[[image:1e)Hinweis1.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
152 +<br>
153 +Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
154 +<br><p>
155 +{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
156 +</p>
157 +Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks {{formula}}OWS{{/formula}}:
158 +<br>
159 +
160 +{{formula}}
161 +\begin{align*}
162 +A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
163 +&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
164 +\end{align*}
165 +{{/formula}}
166 +
167 +<br>
168 +Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
169 +<br>
170 +{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
171 +{{/detail}}
GraphKOptionen.png
Author
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1 +XWiki.akukin
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