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Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 17:35
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -44,15 +44,24 @@
44 44  </p>
45 45  //Lösung//
46 46  <br>
47 -Neben der Funktionsgleichung von f werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
47 +Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
48 +<br><p>
48 48  {{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
50 +</p>
49 49  An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
52 +<br><p>
50 50  {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
54 +</p>
51 51  Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
56 +<br>
52 52  {{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
58 +<br>
53 53  (Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
60 +<br>
54 54  {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
62 +<br>
55 55  (Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
64 +{{/detail}}
56 56  
57 57  === Teilaufgabe c) ===
58 58  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
... ... @@ -59,10 +59,23 @@
59 59  {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
60 60  {{/detail}}
61 61  
71 +
72 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73 +//Aufgabenstellung//
74 +<br><p>
75 +Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
76 +</p>
77 +//Lösung//
78 +<br>
79 +Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
80 +<br>
81 +{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
82 +{{/detail}}
83 +
62 62  === Teilaufgabe d) ===
63 63  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
64 64  <p>
65 -Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
87 +Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
66 66  </p><p>
67 67  Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
68 68  </p>
... ... @@ -71,6 +71,33 @@
71 71  Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
72 72  {{/detail}}
73 73  
96 +
97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +//Aufgabenstellung//
99 +<br><p>
100 +Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
101 +<br>
102 +Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
103 +</p>
104 +//Lösung//
105 +<br>
106 +Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107 +<br>
108 +[[image:1d)Hinweis2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109 +<br><p>
110 +Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111 +</p>
112 +Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113 +<br><p>
114 +{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115 +</p><p>
116 +Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117 +<br>
118 +{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119 +<br>
120 +Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121 +{{/detail}}
122 +
74 74  === Teilaufgabe e) ===
75 75  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
76 76  <p>
... ... @@ -89,3 +89,34 @@
89 89  Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
90 90  {{/detail}}
91 91  
141 +
142 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
143 +//Aufgabenstellung//
144 +<br><p>
145 +Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
146 +</p>
147 +//Lösung//
148 +<br>
149 +Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
150 +<br>
151 +[[image:1e)Hinweis1.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
152 +<br>
153 +Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
154 +<br><p>
155 +{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
156 +</p>
157 +Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks {{formula}}OWS{{/formula}}:
158 +<br>
159 +
160 +{{formula}}
161 +\begin{align*}
162 +A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
163 +&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
164 +\end{align*}
165 +{{/formula}}
166 +
167 +<br>
168 +Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
169 +<br>
170 +{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
171 +{{/detail}}