Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -44,24 +44,15 @@
44	44	</p>
45	45	//Lösung//
46	46	<br>
47		-Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
48		-<br><p>
	47	+Neben der Funktionsgleichung von f werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
49	49	{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
50		-</p>
51	51	An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
52		-<br><p>
53	53	{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
54		-</p>
55	55	Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
56		-<br>
57	57	{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
58		-<br>
59	59	(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
60		-<br>
61	61	{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
62		-<br>
63	63	(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
64		-{{/detail}}
65	65
66	66	=== Teilaufgabe c) ===
67	67	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
...	...	@@ -68,23 +68,10 @@
68	68	{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
69	69	{{/detail}}
70	70
71		-
72		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73		-//Aufgabenstellung//
74		-<br><p>
75		-Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
76		-</p>
77		-//Lösung//
78		-<br>
79		-Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
80		-<br>
81		-{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
82		-{{/detail}}
83		-
84	84	=== Teilaufgabe d) ===
85	85	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
86	86	<p>
87		-Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
	65	+Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
88	88	</p><p>
89	89	Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
90	90	</p>
...	...	@@ -93,34 +93,6 @@
93	93	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
94	94	{{/detail}}
95	95
96		-
97		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98		-//Aufgabenstellung//
99		-<br><p>
100		-Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
101		-<br>
102		-Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
103		-</p>
104		-//Lösung//
105		-<br>
106		-Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107		-<br>
108		-[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109		-<br><p>
110		-Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111		-</p>
112		-Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113		-<br></p>
114		-{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115		-</p><p>
116		-Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117		-</p>
118		-{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119		-<br>
120		-Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121		-
122		-{{/detail}}
123		-
124	124	=== Teilaufgabe e) ===
125	125	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
126	126	<p>