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Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 17:35
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,23 +7,6 @@
7 7  </p>
8 8  {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
9 9  {{/detail}}
10 -
11 -
12 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 -//Aufgabenstellung//
14 -<br><p>
15 -Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann.
16 -[[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 -</p>
18 -//Lösung//
19 -<br><p>
20 -{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
21 -</p><p>
22 -{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
23 -</p>
24 -{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
25 -{{/detail}}
26 -
27 27  === Teilaufgabe b) ===
28 28  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
29 29  <p>
... ... @@ -36,55 +36,15 @@
36 36  {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
37 37  {{/detail}}
38 38  
39 -
40 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
41 -//Aufgabenstellung//
42 -<br><p>
43 -Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.
44 -</p>
45 -//Lösung//
46 -<br>
47 -Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
48 -<br><p>
49 -{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
50 -</p>
51 -An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
52 -<br><p>
53 -{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
54 -</p>
55 -Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
56 -<br>
57 -{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
58 -<br>
59 -(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
60 -<br>
61 -{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
62 -<br>
63 -(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
64 -{{/detail}}
65 -
66 66  === Teilaufgabe c) ===
67 67  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
68 68  {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
69 69  {{/detail}}
70 70  
71 -
72 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73 -//Aufgabenstellung//
74 -<br><p>
75 -Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
76 -</p>
77 -//Lösung//
78 -<br>
79 -Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
80 -<br>
81 -{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
82 -{{/detail}}
83 -
84 84  === Teilaufgabe d) ===
85 85  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
86 86  <p>
87 -Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
30 +Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
88 88  </p><p>
89 89  Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
90 90  </p>
... ... @@ -93,33 +93,6 @@
93 93  Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
94 94  {{/detail}}
95 95  
96 -
97 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 -//Aufgabenstellung//
99 -<br><p>
100 -Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
101 -<br>
102 -Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
103 -</p>
104 -//Lösung//
105 -<br>
106 -Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107 -<br>
108 -[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109 -<br><p>
110 -Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111 -</p>
112 -Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113 -<br></p>
114 -{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115 -</p><p>
116 -Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117 -</p>
118 -{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119 -<br>
120 -Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121 -{{/detail}}
122 -
123 123  === Teilaufgabe e) ===
124 124  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
125 125  <p>
... ... @@ -137,33 +137,3 @@
137 137  </p>
138 138  Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
139 139  {{/detail}}
140 -
141 -
142 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
143 -//Aufgabenstellung//
144 -<br><p>
145 -Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
146 -</p>
147 -//Lösung//
148 -<br>
149 -Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
150 -<br>
151 -[[image:1e)Hinweis1.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
152 -<br>
153 -Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
154 -<br><p>
155 -{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
156 -</p>
157 -Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW, der unterhalb des Graphen von f liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks OWS:
158 -<br>
159 -{{formula}}
160 -\begin{align*}
161 -A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
162 -&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
163 -\end{align*}
164 -{{/formula}}
165 -<br>
166 -Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
167 -<br>
168 -{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
169 -{{/detail}}