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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1

Version 6.1 von akukin am 2024/12/28 17:32
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akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 <p>
4 {{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
5 </p><p>
6 {{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
7 </p>
8 {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
9 {{/detail}}
akukin 5.1 10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 //Aufgabenstellung//
14 <br><p>
15 Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann.
16 [[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
17 </p>
18 //Lösung//
19 <br><p>
20 {{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
21 </p><p>
22 {{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
23 </p>
24 {{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
25 {{/detail}}
26
akukin 1.1 27 === Teilaufgabe b) ===
28 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
29 <p>
30 {{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
31 </p><p>
32 {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
33 </p><p>
34 {{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
35 </p>
36 {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
37 {{/detail}}
38
akukin 5.1 39
40 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
41 //Aufgabenstellung//
42 <br><p>
43 Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.
44 </p>
45 //Lösung//
46 <br>
akukin 5.2 47 Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
48 <br><p>
akukin 5.1 49 {{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
akukin 5.2 50 </p>
akukin 5.1 51 An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
akukin 5.2 52 <br><p>
akukin 5.1 53 {{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
akukin 5.2 54 </p>
akukin 5.1 55 Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
akukin 5.2 56 <br>
akukin 5.1 57 {{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
akukin 5.2 58 <br>
akukin 5.1 59 (Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
akukin 5.2 60 <br>
akukin 5.1 61 {{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
akukin 5.2 62 <br>
akukin 5.1 63 (Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
akukin 5.2 64 {{/detail}}
akukin 5.1 65
akukin 1.1 66 === Teilaufgabe c) ===
67 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
68 {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
69 {{/detail}}
70
akukin 5.2 71
72 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73 //Aufgabenstellung//
74 <br><p>
75 Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
76 </p>
77 //Lösung//
78 <br>
79 Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
80 <br>
81 {{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
82 {{/detail}}
83
akukin 1.1 84 === Teilaufgabe d) ===
85 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
86 <p>
akukin 5.2 87 Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
akukin 1.1 88 </p><p>
89 Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
90 </p>
91 {{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
92 <br>
93 Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
94 {{/detail}}
95
akukin 5.2 96
97 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 //Aufgabenstellung//
99 <br><p>
100 Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
101 <br>
102 Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
103 </p>
104 //Lösung//
105 <br>
106 Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107 <br>
108 [[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109 <br><p>
110 Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111 </p>
112 Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113 <br></p>
114 {{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115 </p><p>
116 Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117 </p>
118 {{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119 <br>
120 Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
121 {{/detail}}
122
akukin 1.1 123 === Teilaufgabe e) ===
124 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
125 <p>
akukin 1.2 126 Flächeninhalt des gesamten Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
akukin 1.1 127 </p><p>
128 Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb von {{formula}}K{{/formula}} liegt:
akukin 1.3 129
130 {{formula}}
131 \begin{align*}
132 A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
133 &=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
134 \end{align*}
135 {{/formula}}
136
akukin 1.1 137 </p>
138 Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
139 {{/detail}}
akukin 5.1 140
akukin 6.1 141
142 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
143 //Aufgabenstellung//
144 <br><p>
145 Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
146 </p>
147 //Lösung//
148 <br>
149 Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
150 <br>
151 [[image:1e)Hinweis1.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
152 <br>
153 Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
154 <br><p>
155 {{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
156 </p>
157 Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW, der unterhalb des Graphen von f liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks OWS:
158 <br>
159 {{formula}}
160 \begin{align*}
161 A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
162 &=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
163 \end{align*}
164 {{/formula}}
165 <br>
166 Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
167 <br>
168 {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
169 {{/detail}}