2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Zuletzt geändert von akukin am 2025/02/13 20:56

Aufgabe 1 Aufgabe 1 𝕋 𝕃

Für eine reelle Zahl ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion gegeben durch $f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-4)$
Der Graph von ist K_f .

[2 BE] Ermittle den Wert von .
[4 BE] Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von .
[5 BE] Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente an die x-Achse schneidet.
[3 BE] Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion geht aus durch Verschiebung um $\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}$ in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt $s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x$ .
Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von $s^{\prime\prime}$ , dass an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist.
[3 BE] Der Ursprung, der Punkt $P\left(u\middle|0\right)$ und der Punkt $Q\left(u\middle| f(u)\right)$ bilden für $0,5\le u\le3,5$ im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt .
Erläutere die Bedeutung der Stelle , die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
$A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3$
Dabei gilt: $A^{\prime\prime}(3)<0$ und und
[4 BE] Eine quadratische Funktion hat dieselben Nullstellen wie . Die Graphen von und schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
Ermittle eine Gleichung von .
[2 BE] Begründe, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion mit $h(x)=e^{f(x)}$ die gleichen Extremstellen wie die Funktion hat.

Bewertungseinheiten gesamt 23

Aufgabe	BE	Allgemeine mathematische Kompetenzen						Anforderungsbereich
Aufgabe	BE	K1	K2	K3	K4	K5	K6	I	II	III
1.1 a	2	I			I	I		X
b	4	I				I		X
c	5		I		I	II	II		X
d	3	III	II		II	II	II			X
e	3	II	I		II		II		X
f	4		III		III	II	II			X
g	2	III				II	II			X

[6 BE] Die Abbildung zeigt den Graphen K_g einer Funktion im Definitionsbereich $-4\le x\le4$ .
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.

(1) Die zugehörige Ableitungsfunktion $g^\prime$ hat genau 5 Nullstellen.
(2) Es gilt: $\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}$
(3) Die Integralfunktion mit $J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}$ ist für $0\le x\le4$ monoton wachsend.

Bewertungseinheiten gesamt 6

Aufgabe	BE	Allgemeine mathematische Kompetenzen						Anforderungsbereich
Aufgabe	BE	K1	K2	K3	K4	K5	K6	I	II	III
1.2	6	II			II		II		X

Aufgabe 3 Aufgabe 3 𝕋 𝕃

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion mit $k(t)=20\cdot t\cdot e^{-t} \ (t\geq0)$ beschreibt die Konzentration eines Medikamentes im Blut. Hierbei ist die Zeit seit der Einnahme (t=0) in Stunden. k(t) wird in Milligramm pro Liter $\left(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}\right)$ angegeben.

[3 BE] Zeichne den Graphen von für $0\le t\le10$ .
[1 BE] Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt.
[4 BE] Es gilt $k^\prime(7)<0$ und $k^{\prime\prime}(7)>0$ . Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von .
Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang.
[3 BE] Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang.

Bewertungseinheiten gesamt 11

Aufgabe	BE	Allgemeine mathematische Kompetenzen						Anforderungsbereich
Aufgabe	BE	K1	K2	K3	K4	K5	K6	I	II	III
1.3 a	3				I			X
b	1			I	I			X
c	4	II		II	II		II		X
d	3	II	II	II	III	III	II			X

2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Aufgabe 1 Aufgabe 1 𝕋 𝕃

Aufgabe 2 Aufgabe 2 𝕋 𝕃

Aufgabe 3 Aufgabe 3 𝕋 𝕃

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