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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 8.1 von akukin am 2025/01/31 23:42
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 <br>
5 {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 {{/detail}}
7
akukin 4.1 8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 <br>
18 {{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 <br>
20 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 <br>
22 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 <br>
24 {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 <br>
26 Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
27
28 {{formula}}
29 \left\{
30 \begin{aligned}
31 0 + 1s &= 5 + 3r \\
32 3 - 2s &= -3 - 4r \\
33 0 + 2s &= 2 + 2r
34 \end{aligned}
35 \right\}
36 \Leftrightarrow
37 \left\{
38 \begin{aligned}
39 s - 3r &= 5 \\
40 -2s + 4r &= -6 \\
41 2s - 2r &= 2
42 \end{aligned}
43 \right\}
44 \Leftrightarrow
45 r = -2 \land s = -1
46 {{/formula}}
47
48 Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49
50 {{/detail}}
51
akukin 1.1 52 === Teilaufgabe b) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
54 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
55 <br>
56 Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
57 {{/detail}}
58
akukin 4.1 59
60 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
61 //Aufgabenstellung//
62 <br><p>
63 Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
64 <br>
65 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
66 </p>
67 //Lösung//
68 <br>
69 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
70 <br>
71 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
72 <br>
73 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
74 <br><p>
75 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
76 </p>
77 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
78 <br>
79 Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
80 <br>
81 {{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
82 <br>
83 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
84 <br>
85 Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
86 <br>
87 {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
88 {{/detail}}
89
akukin 1.1 90 === Teilaufgabe c) ===
91 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
92 Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
93 <br>
94 Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
akukin 3.1 95 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 1.1 96 {{/detail}}
97
akukin 5.1 98
99 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
100 //Aufgabenstellung//
101 <br><p>
102 Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
103 <br>
104 Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
105 </p>
106 //Lösung//
akukin 8.1 107 <br><p>
akukin 5.1 108 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
akukin 8.1 109 </p><p>
akukin 5.1 110 Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
akukin 8.1 111 </p>
akukin 5.1 112 Spurpunkte:
113 <br>
akukin 8.1 114 {{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
akukin 5.1 115 <br>
akukin 8.1 116 {{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
akukin 5.1 117 <br>
akukin 8.1 118 {{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
119 <br>
akukin 5.1 120 Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
121 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
122 {{/detail}}
123
akukin 1.1 124 === Teilaufgabe d) ===
125 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
126 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
127 <br>
128 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}
129 <br>
130 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
131 <br>
132 Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
133 {{/detail}}
134
akukin 5.1 135
136 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
137 //Aufgabenstellung//
138 <br><p>
139 Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
140 <br>
141 Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
142 </p>
143 //Lösung//
144 <br>
145 Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
146 <br>
akukin 8.1 147 {{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
akukin 5.1 148 <br><p>
149 Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
150 </p>
akukin 8.1 151 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{formula}} gelten.
akukin 5.1 152 <br>
153 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
154 <br>
155 {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
156 <br><p>
157 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
158 </p>
159 Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
160 <br>
161 {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
162 <br>
163 Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
164 {{/detail}}
165
akukin 1.1 166 === Teilaufgabe e) ===
167 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
akukin 3.1 168 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
akukin 1.1 169 <br>
170 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
171 <br>
172 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
173 {{/detail}}
174
akukin 5.1 175
176 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
177 //Aufgabenstellung//
178 <br><p>
179 Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
180 </p>
181 //Lösung//
182 <br>
183 Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
184 <br>
185 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
186 <br>
187 Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
188 <br>
189 Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
190 <br>
191 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
192 <br>
193 Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
194 <br>
195 Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
196 <br>
197 {{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
198 <br>
199 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
200 {{/detail}}
201
akukin 1.1 202 === Teilaufgabe f) ===
203 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
204 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
205 <br>
206 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
207 <br>
akukin 3.1 208 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
akukin 1.1 209 {{/detail}}
akukin 5.1 210
211
212 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
213 //Aufgabenstellung//
214 <br><p>
215 Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
216 <br>
217 Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
218 </p>
219 //Lösung//
220 <br><p>
221 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
222 </p>
223 Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
224 <br>
225 Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
226 <br>
227 Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
228 <br>
229 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
230 <br>
231 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
232
233 {{/detail}}
234