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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 2.1 von akukin am 2025/01/23 22:53
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
akukin 2.1 3 {{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
akukin 1.1 4 <br>
5 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen.
6 <br>
7 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
8 <br>
9 {{formula}}P(E_2)=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}}
10 <br>
11 {{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
12 <br>
13 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}}
14 {{/detail}}
15
akukin 2.1 16
17 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
18 //Aufgabenstellung//
19 <br>
20 Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
21 <br>
22 Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
23 <br>
24 {{formula}}E_1{{/formula}}: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.
25 <br>
26 {{formula}}E_2{{/formula}}: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt.
27 <br><p>
28 {{formula}}E_3{{/formula}}: Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt.
29 </p>
30 //Lösung//
31 <br>
32 {{formula}}E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
33 <br><p>
34 {{formula}}P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
35 </p><p>
36 {{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
37 <br>
38 {{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
39 </p>
40 {{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
41 <br>
42 {{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
43 <br>
44 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}}
45 <br>
46 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
47 <br>
48 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
49 {{/detail}}
50
akukin 1.1 51 === Teilaufgabe b) ===
52 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
53 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.
54 <br>
55 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0,09{{/formula}}.
56 <br>
57 {{formula}}\mu=18{{/formula}}
58 <br>
59 {{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}}
60 {{/detail}}
61
akukin 2.1 62
63 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 //Aufgabenstellung//
65 <br><p>
66 200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.
67 <br>
68 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.
69 </p>
70 //Lösung//
71 <br>
72 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}})
73 <br>
74 Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
75 <br>
76 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
77 <br>
78 {{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}}
79 {{/detail}}
80
akukin 1.1 81 === Teilaufgabe c) ===
82 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
83 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
84 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
85 |{{formula}}I{{/formula}}|0,0055|0,035|0,0405
86 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|0,0495 |0,91|0,9595
87 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|0,945|1
88 {{/detail}}
89
akukin 2.1 90
91 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
92 //Aufgabenstellung//
93 <br><p>
94 Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
95 <br>
96 (zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}})
97 </p>
98 //Lösung//
99 <br>
100 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
101 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
102 |{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,|(% style="color:green" %)0,035,,6,,|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,,
103 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, |0,91|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,,
104 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055,,1,,|(% style="color:green" %)0,945,,7,,|1
105
106 Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}}
107 (% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}}
108 <br>
109 Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))
110 (% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))
111 Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.
112
113 {{/detail}}
114
akukin 1.1 115 === Teilaufgabe d) ===
116 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
117 Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
118 <br>
119 Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.
120 {{/detail}}
121
122 === Teilaufgabe e) ===
123 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
124 {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.
125 {{/detail}}
126
127 === Teilaufgabe f) ===
128 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
129 {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
130 <br>
131 {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
132 {{/detail}}
133
134 === Teilaufgabe g) ===
135 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
136 Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
137 <br>
138 {{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
139 (% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
140 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
akukin 2.1 141 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
142 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
akukin 1.1 143
144 {{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
145 <br>
146 {{formula}}9\cdot (0,91-a)-0,5\cdot a-0,5\cdot 0,09=6,5 \ \implies \ a \approx 0,173{{/formula}}
147 <br>
148 Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
149 {{/detail}}