Lösung Analysis Aufgabe 1

\( f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 \)

\( f^{\prime\prime}(x)=6x+6=0 \Leftrightarrow x_{3}=-1 \) (Nullstelle von \( f^{\prime\prime} \) mit Vorzeichenwechsel)

Berechne

• Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:

  \( f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x\)
  Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung:
  

  \(\begin{align*} &0=3x^{2}+6x \\ \Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \quad \quad \mid \text{Satz vom Nullprodukt}\\ \Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 \end{align*}\)

  Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein: \( f^{\prime\prime}(x)=6x+6\)
  \(f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0 \Rightarrow \ \text{Maximalstelle}\)
  \(f(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)^2=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) \)
  

  \(f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0 \Rightarrow \ \text{Minimalstelle}\)
  \(f(0)=0^3+3\cdot 0^2=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0) \)

• Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
  \(\begin{align*} &0=6x+6 &&\mid -6 \\ \Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\ \Leftrightarrow \ &x_3=-1 \end{align*}\)
  Da bei \(x_3=-1\) ein Vorzeichenwechsel von \(f^{\prime\prime}(x)\) stattfindet, handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle (alternativ kann man zeigen, dass \(f^{\prime\prime\prime}(x)=6\neq 0\) gilt).
  Die Wendestelle \(x_3=-1\) setzen wir nun in die erste Ableitung ein, um die Steigung von \(K\) im Wendepunkt zu bestimmen:
  

  \( f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow \) Steigung \( -3 \) im Wendepunkt.