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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 20:19
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 <p>
3 {{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 {{/formula}}
4 </p><p>
5 {{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6=0 \Leftrightarrow x_{3}=-1 {{/formula}} (Nullstelle von {{formula}} f^{\prime\prime} {{/formula}} mit Vorzeichenwechsel)
6 </p>
7 {{formula}}
8 f^{\prime\prime}(-2)=-6 < 0, f(-2)=4 \Rightarrow H(-2|4) {{/formula}}
9 <br>
10 {{formula}}
11 f^{\prime\prime}(0)=6 > 0, f(0)=0 \Rightarrow T(0|0)
12 {{/formula}}
13 <br>
14 {{formula}} f^{\prime}(-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt.
15 {{/detail}}
16
17
18 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
19 //Aufgabenstellung//
20 <br><p>
21 Berechne (((
22 * die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von {{formula}} K {{/formula}} und
23 * die Steigung von {{formula}} K {{/formula}} im Wendepunkt. )))
24 </p>
25
26 //Lösung//
27 <br>
28 * (((Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
29 <p>
30 {{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x{{/formula}}
31 <br>
32 Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung:
33 <br><p>
34 {{formula}}
35 \begin{align*}
36 &0=3x^{2}+6x \\
37 \Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \quad \quad \mid \text{Satz vom Nullprodukt}\\
38 \Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0
39 \end{align*}
40 {{/formula}}
41 </p>
42 Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein:
43 {{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6{{/formula}}
44 <br>
45 {{formula}}
46 f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0 \Rightarrow \ \text{Maximalstelle}
47 {{/formula}}
48 <br>
49 {{formula}}
50 f(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)^2=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}}
51 <br><p>
52 {{formula}}
53 f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0 \Rightarrow \ \text{Minimalstelle}
54 {{/formula}}
55 <br>
56 {{formula}}
57 f(0)=0^3+3\cdot 0^2=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0)
58 {{/formula}}
59 </p>)))
60 * (((Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
61 <br>
62 {{formula}}
63 \begin{align*}
64 &0=6x+6 &&\mid -6 \\
65 \Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\
66 \Leftrightarrow \ &x_3=-1
67 \end{align*}
68 {{/formula}}
69 <br>
70 Da bei {{formula}}x_3=-1{{/formula}} ein Vorzeichenwechsel von {{formula}}f^{\prime\prime}(x){{/formula}} stattfindet, handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle (alternativ kann man zeigen, dass {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6\neq 0{{/formula}} gilt).
71 <br>
72 Die Wendestelle {{formula}}x_3=-1{{/formula}} setzen wir nun in die erste Ableitung ein, um die Steigung von {{formula}}K{{/formula}} im Wendepunkt zu bestimmen:
73 <br><p>
74 {{formula}} f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt.
75 {{/detail}}