Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 20:23
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}=12+4-16=0\)Erläuterung der Lösung
Wir berechnen das Skalarprodukt der von Punkt \(C\) ausgehenden Vektoren, um nachzuweisen, dass bei \(C\) ein rechter Winkel ist:\( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}=2\cdot 6+ 1\cdot 4+ (-2)\cdot 8=12+4-16=0\)
Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren im rechten Winkel zu einander.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Skizze eines möglichen Parallelogramms:
Kein Rechteck erhält man z. B. für
\( \vec{p} = \vec{c}+\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix}, \ P(7|1|14) \)
Anmerkung: Eine weitere Lösung ist \(\vec{p} = \vec{c}-\overrightarrow{AB} , \ P( −\!1 | −\!5 | −\!6)\)Erläuterung der Lösung
Skizze eines möglichen Parallelogramms:
Um ein Parallelogramm zu erhalten, das kein Rechteck ist, muss der Punkt \(P\) so platziert werden, dass die Strecke von \(C\) zu \(P\) dieselbe Richtung und Länge hat, wie die Strecke von \(A\) zu \(B\).
Die Koordinaten des Punktes \(P\) erhält man nun, indem man vom Punkt \(C\) ausgehend den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) anhängt:
\( \vec{p} = \vec{c}+\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix}, \ P(7|1|14) \)
Anmerkung: Eine weitere Lösung ist\(\vec{p} = \vec{c}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} , \ P( −\!1 | −\!5 | −\!6)\)