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Version 2.1 von akukin am 2026/01/21 14:09
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akukin 1.1 1 {{abiaufgabe id="Analysis - Lehrerauswahl I" bes="30"}}
2 Der Graph {{formula}} K_g {{/formula}} einer in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierten quadratischen Funktion {{formula}} g {{/formula}} schneidet die y-Achse im Punkt {{formula}} S_y(0|1) {{/formula}}. In diesem Punkt hat {{formula}} K_g {{/formula}} die Steigung {{formula}} -\frac{4}{3} {{/formula}}. Der Tiefpunkt von {{formula}} K_g {{/formula}} hat die x-Koordinate {{formula}}2{{/formula}}.
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5 (%class=abc%)
6 1. {{be}}4{{/be}} Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
7 (% style="text-align: right" %)
8 ((((//Zur Kontrolle: {{formula}} g(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1 {{/formula}}//).)))
9 1. {{be}}3{{/be}} Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le6 {{/formula}}.
10 1. {{be}}4{{/be}} Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
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12 Die Funktion {{formula}} f {{/formula}} ist für {{formula}} x\in \mathbb{R} {{/formula}} definiert durch {{formula}} f(x)=\left(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1\right)\cdot e^{x} {{/formula}}.
13 Der Graph von {{formula}} f {{/formula}} ist {{formula}} K_{f} {{/formula}}.
14 Die Funktion {{formula}} F {{/formula}} ist für {{formula}} x\in \mathbb{R} {{/formula}} definiert durch {{formula}} F(x)=\frac{1}{3}\cdot(x^{2}-6x+9)\cdot e^{x} {{/formula}}.
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16 (%class=abc start=4%)
17 1. {{be}}3{{/be}} Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
18 1. {{be}}6{{/be}} Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}.
19 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F} {{/formula}}.
20 (1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} besitzt genau einen Extrempunkt im Intervall {{formula}}[-2; 3]{{/formula}}.
21 (2) Es gilt: {{formula}} f(2{,}5)=-1 {{/formula}}
22 (3) Es gilt: {{formula}} f'(1{,}5)<0 {{/formula}}
23 [[image:GraphKF.png||width="230" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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25 Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.
26 (%class=abc start="6"%)
27 1. {{be}}5{{/be}} Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
28 (1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
29 (2) Die Funktion {{formula}} H {{/formula}} mit {{formula}} H(x)=-F(-x-1) {{/formula}} ist eine Stammfunktion von {{formula}} h {{/formula}}.
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32 Die folgende Abbildung zeigt den Graphen {{formula}} K_{H} {{/formula}} einer Stammfunktion {{formula}} H {{/formula}} von {{formula}} h {{/formula}} für {{formula}} x\ge0 {{/formula}}.
33 Die positive x-Achse ist Asymptote von {{formula}} K_{H} {{/formula}}. Zudem ist {{formula}} K_{H} {{/formula}} in diesem Bereich streng monoton steigend.
34 [[image:GraphKH.png||width="400"]]
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36 (%class=abc start="7"%)
37 1. {{be}}5{{/be}} Die Integralfunktion {{formula}} I_{0} {{/formula}} ist definiert durch {{formula}} I_{0}(x)=\int_{0}^{x}h(t) \mathrm{d}t {{/formula}}.
38 Begründe mit Hilfe von {{formula}} K_{H} {{/formula}}, dass {{formula}} I_{0}(100)<2{,}1 {{/formula}}.
39 {{/abiaufgabe}}
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41 (%class="border slim"%)
42 |=(%rowspan=2%)Aufgabe|=(%rowspan=2%)BE|=(%colspan=6%)Allgemeine mathematische Kompetenzen|=(%colspan=3%)Anforderungsbereich
43 |=K1|=K2|=K3|=K4|=K5|=K6|=I|=II|=III
44 |a|4| || |I |I|I |4| |
45 |b|3| | | |I|I| |3| |
46 |c|4| || |I |II|I ||4 |
47 |d|3|| |||II |I | |3|
48 |e|6|II|I| |II ||II | |6|
49 |f|5|III|III| |II|II |III| ||5
50 |g|5|III|III | |I| | | | |5
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