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Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 18:12
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akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 //Aufgabenstellung//
25 <br><p>
26 Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 </p>
28 //Lösung//
29 <br>
30 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 <br>
32 {{formula}}
33 g(x) = ax^2 + bx + c
34 {{/formula}}
35 <p></p>
36 Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37
38 * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 {{formula}}
40 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 {{/formula}}
42 * Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 {{/formula}}
45 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 <p></p>
48
49 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 {{/formula}}
51 {{/detail}}
52
53 === Teilaufgabe b) ===
54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 [[image:b.png||width="300"]]
56 {{/detail}}
57
58
59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 //Aufgabenstellung//
61 <br><p>
62 Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 </p>
64 //Lösung//
65 <br>
66 Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 <br>
68
69 [[image:b.png||width="300"]]
70 {{/detail}}
71
72 === Teilaufgabe c) ===
73 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
74 <p>
75 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
76 </p>
77 {{formula}}
78 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
79 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
80 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
81 {{/formula}}
82 {{/detail}}
83
84
85 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 //Aufgabenstellung//
87 <br><p>
88 Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 </p>
90 //Lösung//
91 <br>
92 Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 <p></p>
94 Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 <br>
96 {{formula}}
97 \begin{align*}
98 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 &= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 &= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 &= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 &=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 &=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 \end{align*}
105 {{/formula}}
106 <p></p>
107 Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
108 {{/detail}}
109
110 === Teilaufgabe d) ===
111 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 {{formula}}
113 \begin{align*}
114 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
115 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
116 \end{align*}
117 {{/formula}}
118 {{/detail}}
119
120
121 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
122 //Aufgabenstellung//
123 <br><p>
124 Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
125 </p>
126 //Lösung//
127 <br>
128 Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
129 <br>
130 {{formula}}
131 \begin{align*}
132 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
133 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
134 \end{align*}
135 {{/formula}}
136 <br>
137 Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
138 {{/detail}}
139
140 === Teilaufgabe e) ===
141 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 (1) Die Aussage ist falsch. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;3]{{/formula}} zwei Wendepunkte und somit {{formula}}K_{f}{{/formula}} zwei Extrempunkte.
143 <br>
144 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
145 <br>
146 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
147 {{/detail}}
148
149
150 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
151 //Aufgabenstellung//
152 <br><p>
153 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
154 <br>
155 Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
156 <br>
akukin 5.1 157 (1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} besitzt genau einen Extrempunkt im Intervall {{formula}}[-2; 3]{{/formula}}.
akukin 1.1 158 <br>
akukin 5.1 159 (2) Es gilt: {{formula}} f(2{,}5)=-1 {{/formula}}
akukin 1.1 160 <br>
akukin 5.1 161 (3) Es gilt: {{formula}} f'(1{,}5)<0 {{/formula}}
akukin 1.1 162 </p>
163 //Lösung//
164 <br>
165 (1) Die Aussage ist falsch. Man sieht, dass {{formula}}K_{F}{{/formula}} im Intervall {{formula}}[-2;3]{{/formula}} zwei Wendepunkte besitzt (bei {{formula}}x\approx 2,4{{/formula}} und {{formula}}x\approx -0,4{{/formula}}). Somit besitzt {{formula}}K_{f}{{/formula}} zwei Extrempunkte.
166 <br>
167 (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
168 <br>
169 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
170 {{/detail}}
171
172 === Teilaufgabe f) ===
173 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
174 Aussage (1):
175 <br><p>
176 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
177 Wird zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
178 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
179 </p>
180 Aussage (2):
181 <br>
akukin 2.1 182 {{formula}}h(x)=f(-x-1){{/formula}}
183 <br>
184 {{formula}}H(x)=-F(-x-1){{/formula}}
185 <br>
186 Beim Ableiten muss gemäß der Kettenregel mit der Ableitung der inneren linearen Funktion multipliziert werden.
187 <br>
188 Damit ist
189 <br>
190 {{formula}}H^\prime(x)=(-F(-x-1))^\prime=-(-1)\cdot F^\prime(-x-1)=F^\prime(-x-1)=f(-x-1)=h(x){{/formula}}
akukin 1.1 191
192 {{/detail}}
193
194
195 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
196 //Aufgabenstellung//
197 <br><p>
198 Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.
199 <p></p>
200 Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
201 <br>
202 (1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
203 <br>
204 (2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}.
205 </p>
206 //Lösung//
207 <br>
208 __Aussage (1): __
209 <br>
210 Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}.
211 <p></p>
212 Zuerst Verschieben, dann Spiegeln:
213 <br>
214 Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}.
215 <p></p>
216 Zuerst Spiegeln, dann Verschieben:
217 <br>
218 Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}.
219 <p></p>
220 Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle.
221
222 <p></p>
223 __Aussage (2): __
224 <br>
akukin 2.1 225 Wir überlegen uns zunächst, wie die Funktion {{formula}}h(x){{/formula}} lautet.
226 <br>
227 Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird. Von der Funktion {{formula}}f(x){{/formula}} ausgehend erhalten wir:
228 <br>
229
230 {{formula}}f(x) \underset{\substack{\text{Verschiebung um 1} \\ \text{nach rechts}}}{\longrightarrow} f(x-1) \underset{\begin{smallmatrix} \text{Spiegelung an} \\ \text{der y-Achse} \end{smallmatrix}}{\longrightarrow} f(-x-1){{/formula}}
231 <br>
232 Somit ist {{formula}}h(x)=f(-x-1){{/formula}}.
233 <p></p>
234 {{formula}}H{{/formula}} ist eine Stammfunktion von {{formula}}h{{/formula}} wenn {{formula}}H^\prime(x)=h(x){{/formula}} gilt.
235 <br>
236 Beim Ableiten muss gemäß der Kettenregel mit der Ableitung der inneren linearen Funktion multipliziert werden.
237 <br>
238 Damit ist die Ableitung von {{formula}}H(x)=-F(-x-1){{/formula}}:
239 <br>
240 {{formula}}H^\prime(x)=(-F(-x-1))^\prime=-(-1)\cdot F^\prime(-x-1)=F^\prime(-x-1)=f(-x-1)=h(x){{/formula}}
241 <br>
242 Somit ist {{formula}}H{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}h{{/formula}}.
akukin 1.1 243 {{/detail}}
akukin 2.1 244
245 === Teilaufgabe g) ===
246 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
247 {{formula}}I_0(100)=\int_0^{100} h(t) \mathrm{d}t=H(100)-H(0){{/formula}}
248
249 <br>
250 Die x-Achse ist Asymptote des Graphen von {{formula}}H{{/formula}}, womit {{formula}}H(100) \approx 0{{/formula}}.
251 <br>
252 Damit ist {{formula}}H(100) − H(0) \approx − H(0) \approx 2 < 2,1{{/formula}}
253 {{/detail}}
254
255
256 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
257 //Aufgabenstellung//
258 <br>
259 Die Integralfunktion {{formula}}I_{0}{{/formula}} ist definiert durch {{formula}} I_{0}(x)=\int_{0}^{x}h(t) \mathrm{d}t {{/formula}}.
260 <br>
261 Begründe mit Hilfe von {{formula}} K_{H} {{/formula}}, dass {{formula}} I_{0}(100)<2{,}1 {{/formula}}.
262 <p></p>
263 //Lösung//
264 <br>
265 {{formula}}I_0(100)=\int_0^{100} h(t) \mathrm{d}t=H(100)-H(0){{/formula}}
266
267 <br>
268 Die x-Achse ist Asymptote des Graphen von {{formula}}H{{/formula}}, womit {{formula}}H(100) \approx 0{{/formula}}. Zudem können wir am Graphen ablesen, dass {{formula}}H(0)=-2{{/formula}}.
269 <br>
270 Damit ist {{formula}}H(100) − H(0) \approx 0 − H(0) =-(-2)= 2 < 2,1{{/formula}}
271 {{/detail}}