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Wiki-Quellcode von Tipp Lineare Algebra

Version 1.1 von akukin am 2026/02/16 17:09
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis 1"}}
3 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, muss geprüft werden, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Hinweis 2"}}
8 Zeige, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt.
9 {{/detail}}
10
11 === Teilaufgabe b) ===
12 {{detail summary="Hinweis"}}
13 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
14 {{/detail}}
15
16
17 === Teilaufgabe c) ===
18 {{detail summary="Hinweis 1"}}
19 Stelle zunächst eine Ebenengleichung der Ebene auf, in der ich das Parallelogramm befindet.
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Hinweis 2"}}
24 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
25 {{formula}}
26 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
27 {{/formula}}
28 {{/detail}}
29
30
31 {{detail summary="Hinweis 3"}}
32 Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse erhältst du, indem du in der Ebenengleichung {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzt.
33 {{/detail}}
34
35 === Teilaufgabe d) ===
36 {{detail summary="Hinweis 1"}}
37 Überlege dir, wie die Richtungsvektoren der beiden Geraden aussehen müssen. Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du anschließend mit der Formel aus der Merkhilfe.
38 {{/detail}}
39
40
41 {{detail summary="Hinweis 2"}}
42 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
43 {{/detail}}
44
45
46 {{detail summary="Hinweis 3"}}
47 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.
48 {{/detail}}
49
50
51 {{detail summary="Hinweis 4"}}
52 Der Normalenvektor ist gegeben durch {{formula}}
53 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}{{/formula}}.
54 {{/detail}}
55
56
57 {{detail summary="Hinweis 5"}}
58 Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du durch {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \ \Leftrightarrow \ \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \right){{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}} die Richtungsvekoren der beiden Geraden sind.
59 {{/detail}}