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Wiki-Quellcode von Tipp Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 17:26
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis 1"}}
3 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, muss geprüft werden, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Hinweis 2"}}
8 Zeige, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt.
9 {{/detail}}
10
11 === Teilaufgabe b) ===
12 {{detail summary="Hinweis"}}
13 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
14 {{/detail}}
15
16 === Teilaufgabe c) ===
17 {{detail summary="Hinweis 1"}}
18 Stelle zunächst eine Ebenengleichung der Ebene auf, in der ich das Parallelogramm befindet.
19 {{/detail}}
20
21
22 {{detail summary="Hinweis 2"}}
23 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
24 {{formula}}
25 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
26 {{/formula}}
27 {{/detail}}
28
29
30 {{detail summary="Hinweis 3"}}
31 Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse erhältst du, indem du in der Ebenengleichung {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzt.
32 {{/detail}}
33
34 === Teilaufgabe d) ===
35 {{detail summary="Hinweis 1"}}
36 Überlege dir, wie die Richtungsvektoren der beiden Geraden aussehen müssen. Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du anschließend mit der Formel aus der Merkhilfe.
37 {{/detail}}
38
39
40 {{detail summary="Hinweis 2"}}
41 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
42 {{/detail}}
43
44
45 {{detail summary="Hinweis 3"}}
46 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.
47 {{/detail}}
48
49
50 {{detail summary="Hinweis 4"}}
51 Der Normalenvektor ist gegeben durch {{formula}}
52 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}{{/formula}}.
53 {{/detail}}
54
55
56 {{detail summary="Hinweis 5"}}
57 Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du durch {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \ \Leftrightarrow \ \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \right){{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}} die Richtungsvekoren der beiden Geraden sind.
58 {{/detail}}
59
60 === Teilaufgabe e) ===
61 {{detail summary="Hinweis 1"}}
62 Begründe, wieso die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene sind und folgere daraus, dass die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme sind.
63 {{/detail}}
64
65
66 {{detail summary="Hinweis 2"}}
67 Das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
68 Wieso entspricht dies auch dem Verhältnis, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird?
69 {{/detail}}
70
71
72 {{detail summary="Hinweis 3"}}
73 Die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
74 {{/detail}}