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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 17:59
Von Version 1.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/01/28 18:49
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bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/15 12:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,11 +21,41 @@
21 21  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22 22  //Aufgabenstellung//
23 23  <br><p>
24 -
24 +Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25 +<br>
26 +A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27 +<br>
28 +B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
25 25  </p>
26 26  //Lösung//
31 +Wir definieren die Zufallsvariable
27 27  <br>
28 -
33 +{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34 +<br>
35 +{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36 +<p></p>
37 +Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38 +<br>
39 +{{formula}}
40 +P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41 +{{/formula}}
42 +<br>
43 +Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44 +{{formula}}
45 +0{,}6\cdot200=120
46 +{{/formula}}
47 +<br>
48 +Somit ist
49 +<br>
50 +{{formula}}
51 +P(B)=P(X\ge120)
52 +{{/formula}}
53 +<br>
54 +Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55 +<br>
56 +{{formula}}
57 +P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58 +{{/formula}}
29 29  {{/detail}}
30 30  
31 31  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -48,10 +48,33 @@
48 48  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49 49  //Aufgabenstellung//
50 50  <br><p>
51 -
81 +Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
52 52  </p>
53 53  //Lösung//
54 54  <br>
85 +Der Erwartungswert ist gegeben durch
86 +<br>
87 +{{formula}}
88 +\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89 +{{/formula}}.
90 +<br>
91 +Die Standardabweichung beträgt
92 +<br>
93 +{{formula}}
94 +\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95 +{{/formula}}.
96 +<p></p>
97 +Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 +<br>
99 +{{formula}}
100 +P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
101 +{{/formula}}.
102 +<br>
103 +Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
104 +<br>
105 +{{formula}}
106 +P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
107 +{{/formula}}
55 55  {{/detail}}
56 56  
57 57  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -63,10 +63,25 @@
63 63  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 64  //Aufgabenstellung//
65 65  <br><p>
66 -
119 +Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
120 +<br>
121 +{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
67 67  </p>
68 68  //Lösung//
69 69  <br>
125 +Wir betrachten zunächst den Term
126 +<br>
127 +{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
128 +<br>
129 +Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
130 +Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
131 +
132 +<p></p>
133 +Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
134 +<br>
135 +{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
136 +<br>
137 +die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
70 70  {{/detail}}
71 71  
72 72  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -88,10 +88,37 @@
88 88  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89 89  //Aufgabenstellung//
90 90  <br><p>
91 -
159 +Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
92 92  </p>
93 93  //Lösung//
94 94  <br>
163 +Es gilt:
164 +<br>
165 +{{formula}}
166 +P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
167 +{{/formula}}
168 +<br>
169 +Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
170 +<br>
171 +und somit:
172 +<br>
173 +{{formula}}
174 +P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
175 +{{/formula}}
176 +<p></p>
177 +Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
178 +<p></p>
179 +{{formula}}
180 +\begin{align*}
181 + & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
182 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
183 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
184 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
185 +\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
186 +\end{align*}
187 +{{/formula}}
188 +
189 +Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
95 95  {{/detail}}
96 96  
97 97  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -113,10 +113,33 @@
113 113  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114 114  //Aufgabenstellung//
115 115  <br><p>
116 -
211 +Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
212 +<br>
213 +Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
117 117  </p>
118 118  //Lösung//
119 119  <br>
217 +Wir definieren:
218 +<br>
219 +{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
220 +<br>
221 +{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
222 +<p></p>
223 +Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
224 +<br>
225 +{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}
226 +<br>
227 +Da {{formula}}Y{{/formula}} binomialverteilt ist, ist {{formula}}P(Y=0){{/formula}} das Gegenereignis zu {{formula}}P(Y\ge 1){{/formula}}. Somit gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}}
228 +<p></p>
229 +Insgesamt erhalten wir
230 +<br>
231 +\begin{align*}
232 + & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
233 +\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0)=1-P(Y\geq 1) &\approx 0{,}859 \\
234 +\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
235 +\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
236 +\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
237 +\end{align*}
120 120  {{/detail}}
121 121  
122 122