Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,11 +21,41 @@
21	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22	22	//Aufgabenstellung//
23	23	<br><p>
24		-
	24	+Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
	25	+<br>
	26	+A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
	27	+<br>
	28	+B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
25	25	</p>
26	26	//Lösung//
	31	+Wir definieren die Zufallsvariable
27	27	<br>
28		-
	33	+{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
	34	+<br>
	35	+{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
	36	+<p></p>
	37	+Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
	38	+<br>
	39	+{{formula}}
	40	+P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
	41	+{{/formula}}
	42	+<br>
	43	+Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
	44	+{{formula}}
	45	+0{,}6\cdot200=120
	46	+{{/formula}}
	47	+<br>
	48	+Somit ist
	49	+<br>
	50	+{{formula}}
	51	+P(B)=P(X\ge120)
	52	+{{/formula}}
	53	+<br>
	54	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	55	+<br>
	56	+{{formula}}
	57	+P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
	58	+{{/formula}}
29	29	{{/detail}}
30	30
31	31	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -48,10 +48,33 @@
48	48	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49	49	//Aufgabenstellung//
50	50	<br><p>
51		-
	81	+Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
52	52	</p>
53	53	//Lösung//
54	54	<br>
	85	+Der Erwartungswert ist gegeben durch
	86	+<br>
	87	+{{formula}}
	88	+\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
	89	+{{/formula}}.
	90	+<br>
	91	+Die Standardabweichung beträgt
	92	+<br>
	93	+{{formula}}
	94	+\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
	95	+{{/formula}}.
	96	+<p></p>
	97	+Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
	98	+<br>
	99	+{{formula}}
	100	+P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
	101	+{{/formula}}.
	102	+<br>
	103	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	104	+<br>
	105	+{{formula}}
	106	+P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
	107	+{{/formula}}
55	55	{{/detail}}
56	56
57	57	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -63,10 +63,25 @@
63	63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64	64	//Aufgabenstellung//
65	65	<br><p>
66		-
	119	+Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
	120	+<br>
	121	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
67	67	</p>
68	68	//Lösung//
69	69	<br>
	125	+Wir betrachten zunächst den Term
	126	+<br>
	127	+{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
	128	+<br>
	129	+Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
	130	+Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
	131	+
	132	+<p></p>
	133	+Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
	134	+<br>
	135	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
	136	+<br>
	137	+die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
70	70	{{/detail}}
71	71
72	72	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -88,10 +88,37 @@
88	88	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89	89	//Aufgabenstellung//
90	90	<br><p>
91		-
	159	+Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
92	92	</p>
93	93	//Lösung//
94	94	<br>
	163	+Es gilt:
	164	+<br>
	165	+{{formula}}
	166	+P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
	167	+{{/formula}}
	168	+<br>
	169	+Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
	170	+<br>
	171	+und somit:
	172	+<br>
	173	+{{formula}}
	174	+P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
	175	+{{/formula}}
	176	+<p></p>
	177	+Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
	178	+<p></p>
	179	+{{formula}}
	180	+\begin{align*}
	181	+ & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
	182	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
	183	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
	184	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
	185	+\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
	186	+\end{align*}
	187	+{{/formula}}
	188	+<br>
	189	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
95	95	{{/detail}}
96	96
97	97	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -113,10 +113,36 @@
113	113	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114	114	//Aufgabenstellung//
115	115	<br><p>
116		-
	211	+Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
	212	+<br>
	213	+Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
117	117	</p>
118	118	//Lösung//
119	119	<br>
	217	+Wir definieren:
	218	+<br>
	219	+{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
	220	+<br>
	221	+{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
	222	+<p></p>
	223	+Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
	224	+{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
	225	+<br>
	226	+Da {{formula}}P(Y=0){{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}P(Y\ge 1){{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}}.
	227	+<p></p>
	228	+Insgesamt erhalten wir
	229	+<br>
	230	+{{formula}}
	231	+\begin{align*}
	232	+ & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
	233	+\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
	234	+\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
	235	+\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
	236	+\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
	237	+\end{align*}
	238	+{{/formula}}
	239	+<br>
	240	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
120	120	{{/detail}}
121	121
122	122