Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,41 +21,11 @@
21	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22	22	//Aufgabenstellung//
23	23	<br><p>
24		-Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25		-<br>
26		-A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27		-<br>
28		-B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
	24	+
29	29	</p>
30	30	//Lösung//
31		-Wir definieren die Zufallsvariable
32	32	<br>
33		-{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34		-<br>
35		-{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36		-<p></p>
37		-Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38		-<br>
39		-{{formula}}
40		-P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41		-{{/formula}}
42		-<br>
43		-Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44		-{{formula}}
45		-0{,}6\cdot200=120
46		-{{/formula}}
47		-<br>
48		-Somit ist
49		-<br>
50		-{{formula}}
51		-P(B)=P(X\ge120)
52		-{{/formula}}
53		-<br>
54		-Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55		-<br>
56		-{{formula}}
57		-P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58		-{{/formula}}
	28	+
59	59	{{/detail}}
60	60
61	61	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -78,33 +78,10 @@
78	78	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79	79	//Aufgabenstellung//
80	80	<br><p>
81		-Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
	51	+
82	82	</p>
83	83	//Lösung//
84	84	<br>
85		-Der Erwartungswert ist gegeben durch
86		-<br>
87		-{{formula}}
88		-\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89		-{{/formula}}.
90		-<br>
91		-Die Standardabweichung beträgt
92		-<br>
93		-{{formula}}
94		-\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95		-{{/formula}}.
96		-<p></p>
97		-Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98		-<br>
99		-{{formula}}
100		-P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
101		-{{/formula}}.
102		-<br>
103		-Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
104		-<br>
105		-{{formula}}
106		-P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
107		-{{/formula}}
108	108	{{/detail}}
109	109
110	110	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -116,25 +116,10 @@
116	116	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
117	117	//Aufgabenstellung//
118	118	<br><p>
119		-Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
120		-<br>
121		-{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
	66	+
122	122	</p>
123	123	//Lösung//
124	124	<br>
125		-Wir betrachten zunächst den Term
126		-<br>
127		-{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
128		-<br>
129		-Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
130		-Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
131		-
132		-<p></p>
133		-Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
134		-<br>
135		-{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
136		-<br>
137		-die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
138	138	{{/detail}}
139	139
140	140	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -156,7 +156,7 @@
156	156	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157	157	//Aufgabenstellung//
158	158	<br><p>
159		-Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
	91	+
160	160	</p>
161	161	//Lösung//
162	162	<br>
...	...	@@ -181,9 +181,7 @@
181	181	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
182	182	//Aufgabenstellung//
183	183	<br><p>
184		-Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
185		-<br>
186		-Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
	116	+
187	187	</p>
188	188	//Lösung//
189	189	<br>