Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -160,6 +160,33 @@
160	160	</p>
161	161	//Lösung//
162	162	<br>
	163	+Es gilt:
	164	+<br>
	165	+{{formula}}
	166	+P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
	167	+{{/formula}}
	168	+<br>
	169	+Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
	170	+<br>
	171	+und somit:
	172	+<br>
	173	+{{formula}}
	174	+P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
	175	+{{/formula}}
	176	+<p></p>
	177	+Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
	178	+<p></p>
	179	+{{formula}}
	180	+\begin{align*}
	181	+ & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
	182	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
	183	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
	184	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
	185	+\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
	186	+\end{align*}
	187	+{{/formula}}
	188	+
	189	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
163	163	{{/detail}}
164	164
165	165	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -187,6 +187,27 @@
187	187	</p>
188	188	//Lösung//
189	189	<br>
	217	+Wir definieren:
	218	+<br>
	219	+{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
	220	+<br>
	221	+{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
	222	+<p></p>
	223	+Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
	224	+<br>
	225	+{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}
	226	+<br>
	227	+Da {{formula}}Y{{/formula}} binomialverteilt ist, ist {{formula}}P(Y=0){{/formula}} das Gegenereignis zu {{formula}}P(Y\ge 1){{/formula}}. Somit gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}}
	228	+<p></p>
	229	+Insgesamt erhalten wir
	230	+<br>
	231	+\begin{align*}
	232	+ & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
	233	+\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0)=1-P(Y\geq 1) &\approx 0{,}859 \\
	234	+\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
	235	+\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
	236	+\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
	237	+\end{align*}
190	190	{{/detail}}
191	191
192	192