Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -160,6 +160,33 @@
160	160	</p>
161	161	//Lösung//
162	162	<br>
	163	+Es gilt:
	164	+<br>
	165	+{{formula}}
	166	+P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
	167	+{{/formula}}
	168	+<br>
	169	+Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
	170	+<br>
	171	+und somit:
	172	+<br>
	173	+{{formula}}
	174	+P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
	175	+{{/formula}}
	176	+<p></p>
	177	+Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
	178	+<p></p>
	179	+{{formula}}
	180	+\begin{align*}
	181	+ & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
	182	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
	183	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
	184	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
	185	+\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
	186	+\end{align*}
	187	+{{/formula}}
	188	+<br>
	189	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
163	163	{{/detail}}
164	164
165	165	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -187,6 +187,32 @@
187	187	</p>
188	188	//Lösung//
189	189	<br>
	217	+Wir definieren:
	218	+<br>
	219	+{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
	220	+<br>
	221	+{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
	222	+<p></p>
	223	+Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
	224	+{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
	225	+<br>
	226	+Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
	227	+<br>
	228	+Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
	229	+<p></p>
	230	+Insgesamt erhalten wir somit:
	231	+<br>
	232	+{{formula}}
	233	+\begin{align*}
	234	+ & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
	235	+\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
	236	+\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
	237	+\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
	238	+\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
	239	+\end{align*}
	240	+{{/formula}}
	241	+<br>
	242	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
190	190	{{/detail}}
191	191
192	192