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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -48,7 +48,7 @@
48	48	Somit ist
49	49	<br>
50	50	{{formula}}
51		-P(B)=P(X\ge120)
	51	+P(B)=P(X\ge 120)
52	52	{{/formula}}
53	53	<br>
54	54	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
...	...	@@ -97,7 +97,11 @@
97	97	Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98	98	<br>
99	99	{{formula}}
100		-P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
	100	+\begin{align*}
	101	+P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
	102	+&=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
	103	+&=P(127\le X\le 133)
	104	+\end{align*}
101	101	{{/formula}}.
102	102	<br>
103	103	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
...	...	@@ -166,7 +166,7 @@
166	166	P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
167	167	{{/formula}}
168	168	<br>
169		-Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
	173	+Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
170	170	<br>
171	171	und somit:
172	172	<br>
...	...	@@ -185,7 +185,7 @@
185	185	\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
186	186	\end{align*}
187	187	{{/formula}}
188		-
	192	+<br>
189	189	Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
190	190	{{/detail}}
191	191
...	...	@@ -194,13 +194,19 @@
194	194	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
195	195	<br>
196	196	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
197		-
	201	+<br>
198	198	{{formula}}
199		-P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
200		-P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
201		-(1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
202		-1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
203		-p\approx0{,}030
	203	+\begin{align*}
	204	+& & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
	205	+\Leftrightarrow & \quad &
	206	+P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
	207	+\Leftrightarrow & \quad &
	208	+(1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
	209	+\Leftrightarrow & \quad &
	210	+1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
	211	+\Leftrightarrow & \quad &
	212	+p &\approx0{,}030
	213	+\end{align*}
204	204	{{/formula}}
205	205	{{/detail}}
206	206
...	...	@@ -221,8 +221,25 @@
221	221	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
222	222	<p></p>
223	223	Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
	234	+{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
224	224	<br>
225		-{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}
	236	+Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
	237	+<br>
	238	+Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
	239	+<p></p>
	240	+Insgesamt erhalten wir somit:
	241	+<br>
	242	+{{formula}}
	243	+\begin{align*}
	244	+ & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
	245	+\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
	246	+\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
	247	+\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
	248	+\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
	249	+\end{align*}
	250	+{{/formula}}
	251	+<br>
	252	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
226	226	{{/detail}}
227	227
228	228