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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 17:59
Von Version 5.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/16 09:42
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am 2026/01/28 18:49
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,41 +21,11 @@
21 21  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22 22  //Aufgabenstellung//
23 23  <br><p>
24 -Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25 -<br>
26 -A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27 -<br>
28 -B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
24 +
29 29  </p>
30 30  //Lösung//
31 -Wir definieren die Zufallsvariable
32 32  <br>
33 -{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34 -<br>
35 -{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36 -<p></p>
37 -Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38 -<br>
39 -{{formula}}
40 -P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41 -{{/formula}}
42 -<br>
43 -Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44 -{{formula}}
45 -0{,}6\cdot200=120
46 -{{/formula}}
47 -<br>
48 -Somit ist
49 -<br>
50 -{{formula}}
51 -P(B)=P(X\ge120)
52 -{{/formula}}
53 -<br>
54 -Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55 -<br>
56 -{{formula}}
57 -P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58 -{{/formula}}
28 +
59 59  {{/detail}}
60 60  
61 61  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -78,33 +78,10 @@
78 78  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79 79  //Aufgabenstellung//
80 80  <br><p>
81 -Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
51 +
82 82  </p>
83 83  //Lösung//
84 84  <br>
85 -Der Erwartungswert ist gegeben durch
86 -<br>
87 -{{formula}}
88 -\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89 -{{/formula}}.
90 -<br>
91 -Die Standardabweichung beträgt
92 -<br>
93 -{{formula}}
94 -\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95 -{{/formula}}.
96 -<p></p>
97 -Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 -<br>
99 -{{formula}}
100 -P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
101 -{{/formula}}.
102 -<br>
103 -Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
104 -<br>
105 -{{formula}}
106 -P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
107 -{{/formula}}
108 108  {{/detail}}
109 109  
110 110  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -116,25 +116,10 @@
116 116  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
117 117  //Aufgabenstellung//
118 118  <br><p>
119 -Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
120 -<br>
121 -{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
66 +
122 122  </p>
123 123  //Lösung//
124 124  <br>
125 -Wir betrachten zunächst den Term
126 -<br>
127 -{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
128 -<br>
129 -Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
130 -Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
131 -
132 -<p></p>
133 -Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
134 -<br>
135 -{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
136 -<br>
137 -die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
138 138  {{/detail}}
139 139  
140 140  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -156,37 +156,10 @@
156 156  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157 157  //Aufgabenstellung//
158 158  <br><p>
159 -Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
91 +
160 160  </p>
161 161  //Lösung//
162 162  <br>
163 -Es gilt:
164 -<br>
165 -{{formula}}
166 -P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
167 -{{/formula}}
168 -<br>
169 -Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
170 -<br>
171 -und somit:
172 -<br>
173 -{{formula}}
174 -P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
175 -{{/formula}}
176 -<p></p>
177 -Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
178 -<p></p>
179 -{{formula}}
180 -\begin{align*}
181 - & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
182 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
183 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
184 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
185 -\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
186 -\end{align*}
187 -{{/formula}}
188 -<br>
189 -Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
190 190  {{/detail}}
191 191  
192 192  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -208,38 +208,10 @@
208 208  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
209 209  //Aufgabenstellung//
210 210  <br><p>
211 -Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
212 -<br>
213 -Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
116 +
214 214  </p>
215 215  //Lösung//
216 216  <br>
217 -Wir definieren:
218 -<br>
219 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
220 -<br>
221 -{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
222 -<p></p>
223 -Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
224 -{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
225 -<br>
226 -Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
227 -<br>
228 -Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
229 -<p></p>
230 -Insgesamt erhalten wir somit:
231 -<br>
232 -{{formula}}
233 -\begin{align*}
234 - & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
235 -\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
236 -\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
237 -\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
238 -\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
239 -\end{align*}
240 -{{/formula}}
241 -<br>
242 -Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
243 243  {{/detail}}
244 244  
245 245