Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -160,33 +160,6 @@
160	160	</p>
161	161	//Lösung//
162	162	<br>
163		-Es gilt:
164		-<br>
165		-{{formula}}
166		-P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
167		-{{/formula}}
168		-<br>
169		-Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
170		-<br>
171		-und somit:
172		-<br>
173		-{{formula}}
174		-P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
175		-{{/formula}}
176		-<p></p>
177		-Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
178		-<p></p>
179		-{{formula}}
180		-\begin{align*}
181		- & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
182		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
183		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
184		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
185		-\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
186		-\end{align*}
187		-{{/formula}}
188		-<br>
189		-Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
190	190	{{/detail}}
191	191
192	192	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -214,32 +214,6 @@
214	214	</p>
215	215	//Lösung//
216	216	<br>
217		-Wir definieren:
218		-<br>
219		-{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
220		-<br>
221		-{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
222		-<p></p>
223		-Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
224		-{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
225		-<br>
226		-Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
227		-<br>
228		-Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
229		-<p></p>
230		-Insgesamt erhalten wir somit:
231		-<br>
232		-{{formula}}
233		-\begin{align*}
234		- & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
235		-\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
236		-\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
237		-\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
238		-\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
239		-\end{align*}
240		-{{/formula}}
241		-<br>
242		-Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
243	243	{{/detail}}
244	244
245	245