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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 17:59
Von Version 6.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/16 17:59
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am 2026/02/13 19:46
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -48,7 +48,7 @@
48 48  Somit ist
49 49  <br>
50 50  {{formula}}
51 -P(B)=P(X\ge 120)
51 +P(B)=P(X\ge120)
52 52  {{/formula}}
53 53  <br>
54 54  Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
... ... @@ -97,11 +97,7 @@
97 97  Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 98  <br>
99 99  {{formula}}
100 -\begin{align*}
101 -P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
102 -&=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
103 -&=P(127\le X\le 133)
104 -\end{align*}
100 +P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
105 105  {{/formula}}.
106 106  <br>
107 107  Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
... ... @@ -164,33 +164,6 @@
164 164  </p>
165 165  //Lösung//
166 166  <br>
167 -Es gilt:
168 -<br>
169 -{{formula}}
170 -P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
171 -{{/formula}}
172 -<br>
173 -Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
174 -<br>
175 -und somit:
176 -<br>
177 -{{formula}}
178 -P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
179 -{{/formula}}
180 -<p></p>
181 -Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
182 -<p></p>
183 -{{formula}}
184 -\begin{align*}
185 - & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
186 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
187 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
188 -\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
189 -\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
190 -\end{align*}
191 -{{/formula}}
192 -<br>
193 -Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
194 194  {{/detail}}
195 195  
196 196  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -198,19 +198,13 @@
198 198  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
199 199  <br>
200 200  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
201 -<br>
170 +
202 202  {{formula}}
203 -\begin{align*}
204 -& & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
205 -\Leftrightarrow & \quad &
206 -P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
207 -\Leftrightarrow & \quad &
208 -(1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
209 -\Leftrightarrow & \quad &
210 -1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
211 -\Leftrightarrow & \quad &
212 -p &\approx0{,}030
213 -\end{align*}
172 +P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
173 +P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
174 +(1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
175 +1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
176 +p\approx0{,}030
214 214  {{/formula}}
215 215  {{/detail}}
216 216  
... ... @@ -224,32 +224,6 @@
224 224  </p>
225 225  //Lösung//
226 226  <br>
227 -Wir definieren:
228 -<br>
229 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
230 -<br>
231 -{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
232 -<p></p>
233 -Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
234 -{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
235 -<br>
236 -Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
237 -<br>
238 -Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
239 -<p></p>
240 -Insgesamt erhalten wir somit:
241 -<br>
242 -{{formula}}
243 -\begin{align*}
244 - & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
245 -\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
246 -\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
247 -\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
248 -\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
249 -\end{align*}
250 -{{/formula}}
251 -<br>
252 -Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
253 253  {{/detail}}
254 254  
255 255