Änderungen von Dokument Lösung Analysis

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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16	16
17	17
18	18	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
19		-
	19	+//Aufgabenstellung//
	20	+<br><p>
	21	+Berechne (((
	22	+* die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von {{formula}} K {{/formula}} und
	23	+* die Steigung von {{formula}} K {{/formula}} im Wendepunkt. )))
	24	+</p>
	25	+
	26	+//Lösung//
	27	+<br>
	28	+* (((Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
	29	+<p>
	30	+{{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x{{/formula}}
	31	+<br>
	32	+Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung:
	33	+<br><p>
	34	+{{formula}}
	35	+\begin{align*}
	36	+&0=3x^{2}+6x \\
	37	+\Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \quad \quad \mid \text{Satz vom Nullprodukt}\\
	38	+\Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0
	39	+\end{align*}
	40	+{{/formula}}
	41	+</p>
	42	+Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein:
	43	+{{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6{{/formula}}
	44	+<br>
	45	+{{formula}}
	46	+f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0 \Rightarrow \ \text{Maximalstelle}
	47	+{{/formula}}
	48	+<br>
	49	+{{formula}}
	50	+f(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)^2=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}}
	51	+<br><p>
	52	+{{formula}}
	53	+f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0 \Rightarrow \ \text{Minimalstelle}
	54	+{{/formula}}
	55	+<br>
	56	+{{formula}}
	57	+f(0)=0^3+3\cdot 0^2=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0)
	58	+{{/formula}}
	59	+</p>)))
	60	+* (((Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
	61	+<br>
	62	+{{formula}}
	63	+\begin{align*}
	64	+&0=6x+6 &&\mid -6 \\
	65	+\Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\
	66	+\Leftrightarrow \ &x_3=-1
	67	+\end{align*}
	68	+{{/formula}}
	69	+<br>
	70	+Die Wendestelle {{formula}}x_3=-1{{/formula}} setzen wir nun in die erste Ableitung ein, um die Steigung von {{formula}}K{{/formula}} im Wendepunkt zu bestimmen:
	71	+<br><p>
	72	+{{formula}} f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt.
	73	+</p>
	74	+//Anmerkung:
	75	+Da bei {{formula}}x_3=-1{{/formula}} ein Vorzeichenwechsel von {{formula}}f^{\prime\prime}(x){{/formula}} stattfindet, handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle. Dies muss allerdings nicht zwangsweise gezeigt werden, da die Aufgabenstellung impliziert, dass es eine Wendestelle geben muss und {{formula}}x_3{{/formula}} die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung ist (d.h. der einzige Kandidat für eine Wendestelle) und somit eine Wendestelle ist.//
20	20	{{/detail}}
	77	+