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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -25,7 +25,7 @@
25	25
26	26	//Lösung//
27	27	<br>
28		-Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
	28	+* (((Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
29	29	<p>
30	30	{{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x{{/formula}}
31	31	<br>
...	...	@@ -34,7 +34,7 @@
34	34	{{formula}}
35	35	\begin{align*}
36	36	&0=3x^{2}+6x \\
37		-\Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \\
	37	+\Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \quad \quad \mid \text{Satz vom Nullprodukt}\\
38	38	\Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0
39	39	\end{align*}
40	40	{{/formula}}
...	...	@@ -43,15 +43,23 @@
43	43	{{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6{{/formula}}
44	44	<br>
45	45	{{formula}}
46		-f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0, \ f(-2)=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}}
	46	+f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0 \Rightarrow \ \text{Maximalstelle}
	47	+{{/formula}}
	48	+<br>
	49	+{{formula}}
	50	+f(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)^2=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}}
47	47	<br><p>
48	48	{{formula}}
49		-f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0, \ f(0)=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0)
	53	+f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0 \Rightarrow \ \text{Minimalstelle}
50	50	{{/formula}}
51		-</p>
52		-Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung und setzen diese anschließend in die erste Ableitung ein:
53	53	<br>
54	54	{{formula}}
	57	+f(0)=0^3+3\cdot 0^2=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0)
	58	+{{/formula}}
	59	+</p>)))
	60	+* (((Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
	61	+<br>
	62	+{{formula}}
55	55	\begin{align*}
56	56	&0=6x+6 &&\mid -6 \\
57	57	\Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\
...	...	@@ -59,5 +59,10 @@
59	59	\end{align*}
60	60	{{/formula}}
61	61	<br>
	70	+Da bei {{formula}}x_3=-1{{/formula}} ein Vorzeichenwechsel von {{formula}}f^{\prime\prime}(x){{/formula}} stattfindet, handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle (alternativ kann man zeigen, dass {{formula}}f^{\prime\prime\prime}(x)=6\neq 0{{/formula}} gilt).
	71	+<br>
	72	+Die Wendestelle {{formula}}x_3=-1{{/formula}} setzen wir nun in die erste Ableitung ein, um die Steigung von {{formula}}K{{/formula}} im Wendepunkt zu bestimmen:
	73	+<br><p>
62	62	{{formula}} f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt.
63	63	{{/detail}}
	76	+