Änderungen von Dokument Lösung Analysis

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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16	16
17	17
18	18	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
19		-//Aufgabenstellung//
20		-<br><p>
21		-Berechne (((
22		-* die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von {{formula}} K {{/formula}} und
23		-* die Steigung von {{formula}} K {{/formula}} im Wendepunkt. )))
24		-</p>
25		-
26		-//Lösung//
27		-<br>
28		-* (((Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
29		-<p>
30		-{{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x{{/formula}}
31		-<br>
32		-Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung:
33		-<br><p>
34		-{{formula}}
35		-\begin{align*}
36		-&0=3x^{2}+6x \\
37		-\Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \quad \quad \mid \text{Satz vom Nullprodukt}\\
38		-\Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0
39		-\end{align*}
40		-{{/formula}}
41		-</p>
42		-Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein:
43		-{{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6{{/formula}}
44		-<br>
45		-{{formula}}
46		-f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0 \Rightarrow \ \text{Maximalstelle}
47		-{{/formula}}
48		-<br>
49		-{{formula}}
50		-f(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)^2=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}}
51		-<br><p>
52		-{{formula}}
53		-f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0 \Rightarrow \ \text{Minimalstelle}
54		-{{/formula}}
55		-<br>
56		-{{formula}}
57		-f(0)=0^3+3\cdot 0^2=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0)
58		-{{/formula}}
59		-</p>)))
60		-*(((Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:
61		-<br>
62		-{{formula}}
63		-\begin{align*}
64		-&0=6x+6 &&\mid -6 \\
65		-\Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\
66		-\Leftrightarrow \ &x_3=-1
67		-\end{align*}
68		-{{/formula}}
69		-<br>
70		-Die Wendestelle {{formula}}x_3=-1{{/formula}} setzen wir nun in die erste Ableitung ein, um die Steigung von {{formula}}K{{/formula}} im Wendepunkt zu bestimmen:
71		-<br>
72		-{{formula}} f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt.
73		-{{/detail}})))
	19	+
	20	+{{/detail}}