Wiki-Quellcode von Lösung Analysis
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 2 | <p> | ||
| 3 | {{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 {{/formula}} | ||
| 4 | </p><p> | ||
| 5 | {{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6=0 \Leftrightarrow x_{3}=-1 {{/formula}} (Nullstelle von {{formula}} f^{\prime\prime} {{/formula}} mit Vorzeichenwechsel) | ||
| 6 | </p> | ||
| 7 | {{formula}} | ||
| 8 | f^{\prime\prime}(-2)=-6 < 0, f(-2)=4 \Rightarrow H(-2|4) {{/formula}} | ||
| 9 | <br> | ||
| 10 | {{formula}} | ||
| 11 | f^{\prime\prime}(0)=6 > 0, f(0)=0 \Rightarrow T(0|0) | ||
| 12 | {{/formula}} | ||
| 13 | <br> | ||
| 14 | {{formula}} f^{\prime}(-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt. | ||
| 15 | {{/detail}} | ||
| 16 | |||
| 17 | |||
| 18 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 19 | //Aufgabenstellung// | ||
| 20 | <br><p> | ||
| 21 | Berechne ((( | ||
| 22 | * die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von {{formula}} K {{/formula}} und | ||
| 23 | * die Steigung von {{formula}} K {{/formula}} im Wendepunkt. ))) | ||
| 24 | </p> | ||
| 25 | |||
| 26 | //Lösung// | ||
| 27 | <br> | ||
| 28 | Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion: | ||
| 29 | <p> | ||
| 30 | {{formula}} f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x{{/formula}} | ||
| 31 | <br> | ||
| 32 | Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung: | ||
| 33 | <br><p> | ||
| 34 | {{formula}} | ||
| 35 | \begin{align*} | ||
| 36 | &0=3x^{2}+6x \\ | ||
| 37 | \Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \\ | ||
| 38 | \Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 | ||
| 39 | \end{align*} | ||
| 40 | {{/formula}} | ||
| 41 | </p> | ||
| 42 | Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein: | ||
| 43 | {{formula}} f^{\prime\prime}(x)=6x+6{{/formula}} | ||
| 44 | <br> | ||
| 45 | {{formula}} | ||
| 46 | f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0, \ f(-2)=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) {{/formula}} | ||
| 47 | <br><p> | ||
| 48 | {{formula}} | ||
| 49 | f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0, \ f(0)=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0) | ||
| 50 | {{/formula}} | ||
| 51 | </p> | ||
| 52 | Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung und setzen diese anschließend in die erste Ableitung ein: | ||
| 53 | <br> | ||
| 54 | {{formula}} | ||
| 55 | \begin{align*} | ||
| 56 | &0=6x+6 &&\mid -6 \\ | ||
| 57 | \Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\ | ||
| 58 | \Leftrightarrow \ &x_3=-1 | ||
| 59 | \end{align*} | ||
| 60 | {{/formula}} | ||
| 61 | <br> | ||
| 62 | {{formula}} f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow {{/formula}} Steigung {{formula}} -3 {{/formula}} im Wendepunkt. | ||
| 63 | {{/detail}} |