Änderungen von Dokument Lösung Stochastik 4_1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -15,7 +15,24 @@
15	15
16	16
17	17	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
18		-
	18	+Wir definieren die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Auszahlung für den Spieler in Euro
	19	+(% class="border" style="width:30%" %)
	20	+|{{formula}}x_i{{/formula}}|6|2|1
	21	+|{{formula}}P(X = x_i){{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{4}{{/formula}}
	22	+
	23	+<p> Ein Spieler macht auf lange Sicht keinen Verlust, wenn der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} höchstens dem Erwartungswert entspricht.
	24	+</p>
	25	+Der Erwartungswert ergibt sich durch
	26	+<br>
	27	+{{formula}}
	28	+\begin{align*}
	29	+E(X) &= P(X=x_1)\cdot x_1+ P(X=x_2)\cdot x_2+P(X=x_3)\cdot x_3 \\
	30	+&=\frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 \\
	31	+ &= \frac{3}{2}=1{,}5
	32	+\end{align*}
	33	+{{/formula}}
	34	+<br>
	35	+Der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} darf somit höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
19	19	{{/detail}}
20	20
21	21	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -54,5 +54,35 @@
54	54
55	55
56	56	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
57		-
	74	+Die Radien der einzelnen Kreise lassen sich aus der Skizze ablesen. Es ergeben sich damit folgende Flächeninhalte:
	75	+* Flächeninhalt des gesamten Kreises ({{formula}}r_{gesamt}=4{{/formula}}):
	76	+{{formula}}
	77	+A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot r^2 =\pi\cdot 4^2= 16\pi
	78	+{{/formula}}
	79	+* Flächeninhalt des roten Kreises ({{formula}}r=1{{/formula}}):
	80	+{{formula}}
	81	+A_{\text{rot}} = \pi \cdot 1^2=\pi
	82	+{{/formula}}
	83	+* Flächeninhalt des blauen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=1{{/formula}} bis {{formula}}r=2{{/formula}}):
	84	+{{formula}}
	85	+A_{\text{blau}} =\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2=4\pi - \pi = 3\pi
	86	+{{/formula}}
	87	+* Flächeninhalt des grünen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=2{{/formula}} bis {{formula}}r=4{{/formula}}):
	88	+{{formula}}
	89	+A_{\text{grün}} =\pi \cdot 4^2-\pi \cdot 2^2= 16\pi - 4\pi = 12\pi
	90	+{{/formula}}
	91	+
	92	+</p><p>
	93	+Nun berechnen wir den Flächenanteil des jeweiligen Bereichs an der gesamten Kreisfläche:
	94	+<br>
	95	+Anteil des roten Kreises {{formula}}
	96	+=\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})
	97	+{{/formula}}
	98	+</p><p>
	99	+Anteil des blauen Kreisrings {{formula}}
	100	+=\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})
	101	+{{/formula}}
	102	+</p>
	103	+Anteil des grünen Kreisrings {{formula}}=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})
	104	+{{/formula}}
58	58	{{/detail}}