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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik 4_1

Version 3.1 von akukin am 2026/01/04 20:42
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Auszahlung für den Spieler in Euro
4 (% class="border" style="width:30%" %)
5 |{{formula}}x_i{{/formula}}|6|2|1
6 |{{formula}}P(X = x_i){{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{4}{{/formula}}
7
8
9 {{formula}}
10 E(X) = \frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{3}{2}
11 {{/formula}}
12 <br>
13 Der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} darf höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
14 {{/detail}}
15
16
17 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 2.1 18 Wir definieren die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Auszahlung für den Spieler in Euro
19 (% class="border" style="width:30%" %)
20 |{{formula}}x_i{{/formula}}|6|2|1
21 |{{formula}}P(X = x_i){{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{16}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{4}{{/formula}}
22
23 <p> Ein Spieler macht auf lange Sicht keinen Verlust, wenn der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} höchstens dem Erwartungswert entspricht.
24 </p>
25 Der Erwartungswert ergibt sich durch
26 <br>
27 {{formula}}
28 \begin{align*}
akukin 3.1 29 E(X) &= P(X=x_1)\cdot x_1+ P(X=x_2)\cdot x_2+P(X=x_3)\cdot x_3 \\
akukin 2.1 30 &=\frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 \\
31 &= \frac{3}{2}=1{,}5
32 \end{align*}
33 {{/formula}}
34 <br>
35 Der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} darf somit höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
akukin 1.1 36 {{/detail}}
37
38 === Teilaufgabe b) ===
39 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
40 Flächeninhalt des gesamten Kreises:
41 {{formula}}
42 A_{\text{gesamt}} = 16\pi
43 {{/formula}}
44 <br>
45 Flächeninhalt des roten Kreises:
46 {{formula}}
47 A_{\text{rot}} = \pi
48 {{/formula}}
49 <br>
50 Flächeninhalt des blauen Kreisrings:
51 {{formula}}
52 A_{\text{blau}} = 4\pi - \pi = 3\pi
53 {{/formula}}
54 <br><p>
55 Flächeninhalt des grünen Kreisrings:
56 {{formula}}
57 A_{\text{grün}} = 16\pi - 4\pi = 12\pi
58 {{/formula}}
59 </p><p>
60 Anteil des roten Kreises {{formula}}
61 =\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})
62 {{/formula}}
63 </p><p>
64 Anteil des blauen Kreisrings {{formula}}
65 =\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})
66 {{/formula}}
67 </p>
68 Anteil des grünen Kreisrings {{formula}}=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})
69 {{/formula}}
70 {{/detail}}
71
72
73 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 3.1 74 Die Radien der einzelnen Kreise lassen sich aus der Skizze ablesen. Es ergeben sich damit folgende Flächeninhalte:
75 * Flächeninhalt des gesamten Kreises ({{formula}}r_{gesamt}=4{{/formula}}):
76 {{formula}}
77 A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot r^2 =\pi\cdot 4^2= 16\pi
78 {{/formula}}
79 * Flächeninhalt des roten Kreises ({{formula}}r=1{{/formula}}):
80 {{formula}}
81 A_{\text{rot}} = \pi \cdot 1^2=\pi
82 {{/formula}}
83 * Flächeninhalt des blauen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=1{{/formula}} bis {{formula}}r=2{{/formula}}):
84 {{formula}}
85 A_{\text{blau}} =\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2=4\pi - \pi = 3\pi
86 {{/formula}}
87 * Flächeninhalt des grünen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=2{{/formula}} bis {{formula}}r=4{{/formula}}):
88 {{formula}}
89 A_{\text{grün}} =\pi \cdot 4^2-\pi \cdot 2^2= 16\pi - 4\pi = 12\pi
90 {{/formula}}
91
92 </p><p>
93 Anteil des roten Kreises {{formula}}
94 =\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})
95 {{/formula}}
96 </p><p>
97 Anteil des blauen Kreisrings {{formula}}
98 =\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})
99 {{/formula}}
100 </p>
101 Anteil des grünen Kreisrings {{formula}}=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})
102 {{/formula}}
akukin 1.1 103 {{/detail}}