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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Version 7.1 von akukin am 2026/01/11 15:23
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 == 1.1 ==
2 === Teilaufgabe a) ===
3 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
4 Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
5 <br>
6 Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
7 <br>
8 Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 13 Mögliche Argumente:
14 <br>
15 * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
16 <br>
17 (Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}})
18 <br>
19 * Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
20 <br>
21 (Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse)
22 * Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
23 <br>
akukin 7.1 24 (Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}}.)
akukin 1.1 25 {{/detail}}
26
27 === Teilaufgabe b) ===
28 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}
30 {{/detail}}
31
32
33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 34 Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
35 Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
akukin 1.1 36 {{/detail}}
37
38 === Teilaufgabe c) ===
39 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
40 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
41 <br>
42 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
43 <br><p>
44 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
45 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
46 {{/formula}}
47 </p>
48 Damit: {{formula}}
49 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
50 {{/formula}}
51 {{/detail}}
52
akukin 7.1 53 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
55 <br>
56 Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
57 <br>
58 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
59 <br><p>
60 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
61 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
62 {{/formula}}
63 </p>
64 Damit: {{formula}}
65 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
66 {{/formula}}
67 {{/detail}}
akukin 1.1 68
69 == 1.2 ==
70 === Teilaufgabe a) ===
71 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 5.1 72 [[image:1.2a.png||width="300"]]
akukin 1.1 73 {{/detail}}
74
75
76 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 77 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
78 [[image:1.2a.png||width="300"]]
akukin 1.1 79 {{/detail}}
80
akukin 7.1 81
akukin 1.1 82 === Teilaufgabe b) ===
83 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
84 {{formula}}
85 t(x) = -4x + 2\pi + 4
86 {{/formula}}
87 <br>
88 {{formula}}
89 t'(x) = -4
90 {{/formula}}
91 <br>
92 {{formula}}
93 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
94 {{/formula}}
95 <br>
96 {{formula}}
97 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
98 {{/formula}}
99 <br>
100 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
101 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
102 {{/formula}}
103 {{/detail}}
104
105
106 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 107 Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}.
108 <br>
109 Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}}
110 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right){{/formula}} und {{formula}}h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
111 {{/formula}} gilt:
112 <p></p>
113 {{formula}}
114 t(x) = -4x + 2\pi + 4
115 {{/formula}}
116 <br>
117 {{formula}}
118 t'(x) = -4
119 {{/formula}}
120 <br>
121 {{formula}}
122 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
123 {{/formula}}
124 <br>
125 {{formula}}
126 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
127 {{/formula}}
128 <br>
129 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
130 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
131 {{/formula}}
akukin 1.1 132 {{/detail}}
133
134 === Teilaufgabe c) ===
135 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
136 Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}}
137 h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
138 {{/formula}}
139 <br>
140 Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}}
141 y = -4\sin(u)\cdot x + b
142 {{/formula}}
143 <br>
144 Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}}
145 b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
146 {{/formula}}
147 <br>
148 {{formula}}
149 b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
150 {{/formula}}
151 <br><p>
152 {{formula}}
153 b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
154 {{/formula}}
155 </p>
156 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
157 {{/detail}}
158
159
160 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161
162 {{/detail}}
akukin 2.1 163
164 == 1.3 ==
165 === Teilaufgabe a) ===
166 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
167 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
168 <br><p>
169 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
akukin 3.1 170 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
akukin 2.1 171 </p>
172 Daher {{formula}}
173 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
akukin 3.1 174 {{/formula}}.
akukin 2.1 175 {{/detail}}
176
177
178 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
179
180 {{/detail}}
181
182 === Teilaufgabe b) ===
183 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
184 {{formula}}
185 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
186 \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
187 {{/formula}}
188 <br>
189 liefert
190 <br>
191 {{formula}}
akukin 3.1 192 n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
akukin 2.1 193 {{/formula}}
194 <br>
195 Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
196 {{/detail}}
197
198
199 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
200
201 {{/detail}}
202
203