Wiki-Quellcode von Lösung Analysis
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
1.1 | 1 | == 1.1 == |
| 2 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 3 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 4 | Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. | ||
| 5 | <br> | ||
| 6 | Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen. | ||
| 7 | <br> | ||
| 8 | Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. | ||
| 9 | {{/detail}} | ||
| 10 | |||
| 11 | |||
| 12 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
6.1 | 13 | Mögliche Argumente: |
| 14 | <br> | ||
| 15 | * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. | ||
| 16 | <br> | ||
| 17 | (Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}}) | ||
| 18 | <br> | ||
| 19 | * Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen. | ||
| 20 | <br> | ||
| 21 | (Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse) | ||
| 22 | * Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. | ||
| 23 | <br> | ||
| |
7.1 | 24 | (Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}}.) |
| |
1.1 | 25 | {{/detail}} |
| 26 | |||
| 27 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 28 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 29 | {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}} | ||
| 30 | {{/detail}} | ||
| 31 | |||
| 32 | |||
| 33 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
6.1 | 34 | Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}. |
| 35 | Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}. | ||
| |
1.1 | 36 | {{/detail}} |
| 37 | |||
| 38 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 39 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 40 | Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. | ||
| 41 | <br> | ||
| 42 | Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}} | ||
| 43 | <br><p> | ||
| 44 | Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}} | ||
| 45 | 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2} | ||
| 46 | {{/formula}} | ||
| 47 | </p> | ||
| 48 | Damit: {{formula}} | ||
| 49 | y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 | ||
| 50 | {{/formula}} | ||
| 51 | {{/detail}} | ||
| 52 | |||
| |
8.1 | 53 | |
| |
7.1 | 54 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
| 55 | Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. | ||
| 56 | <br> | ||
| 57 | Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben. | ||
| 58 | <br> | ||
| 59 | Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}} | ||
| 60 | <br><p> | ||
| 61 | Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}} | ||
| 62 | 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2} | ||
| 63 | {{/formula}} | ||
| 64 | </p> | ||
| 65 | Damit: {{formula}} | ||
| 66 | y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 | ||
| 67 | {{/formula}} | ||
| 68 | {{/detail}} | ||
| |
1.1 | 69 | |
| 70 | == 1.2 == | ||
| 71 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 72 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| |
5.1 | 73 | [[image:1.2a.png||width="300"]] |
| |
1.1 | 74 | {{/detail}} |
| 75 | |||
| 76 | |||
| 77 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
7.1 | 78 | Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird. |
| 79 | [[image:1.2a.png||width="300"]] | ||
| |
1.1 | 80 | {{/detail}} |
| 81 | |||
| |
7.1 | 82 | |
| |
1.1 | 83 | === Teilaufgabe b) === |
| 84 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 85 | {{formula}} | ||
| 86 | t(x) = -4x + 2\pi + 4 | ||
| 87 | {{/formula}} | ||
| 88 | <br> | ||
| 89 | {{formula}} | ||
| 90 | t'(x) = -4 | ||
| 91 | {{/formula}} | ||
| 92 | <br> | ||
| 93 | {{formula}} | ||
| 94 | h'(x) = -4 \cdot \sin(x) | ||
| 95 | {{/formula}} | ||
| 96 | <br> | ||
| 97 | {{formula}} | ||
| 98 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 99 | {{/formula}} | ||
| 100 | <br> | ||
| 101 | Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}} | ||
| 102 | P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right) | ||
| 103 | {{/formula}} | ||
| 104 | {{/detail}} | ||
| 105 | |||
| 106 | |||
| 107 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
7.1 | 108 | Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}. |
| 109 | <br> | ||
| 110 | Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}} | ||
| 111 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right){{/formula}} und {{formula}}h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 112 | {{/formula}} gilt: | ||
| 113 | <p></p> | ||
| 114 | {{formula}} | ||
| 115 | t(x) = -4x + 2\pi + 4 | ||
| 116 | {{/formula}} | ||
| 117 | <br> | ||
| 118 | {{formula}} | ||
| 119 | t'(x) = -4 | ||
| 120 | {{/formula}} | ||
| 121 | <br> | ||
| 122 | {{formula}} | ||
| 123 | h'(x) = -4 \cdot \sin(x) | ||
| 124 | {{/formula}} | ||
| 125 | <br> | ||
| 126 | {{formula}} | ||
| 127 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 128 | {{/formula}} | ||
| 129 | <br> | ||
| 130 | Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}} | ||
| 131 | P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right) | ||
| 132 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 133 | {{/detail}} |
| 134 | |||
| 135 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 136 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 137 | Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}} | ||
| 138 | h'(u) = -4 \cdot \sin(u) | ||
| 139 | {{/formula}} | ||
| 140 | <br> | ||
| 141 | Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}} | ||
| 142 | y = -4\sin(u)\cdot x + b | ||
| 143 | {{/formula}} | ||
| 144 | <br> | ||
| 145 | Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}} | ||
| 146 | b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 | ||
| 147 | {{/formula}} | ||
| 148 | <br> | ||
| 149 | {{formula}} | ||
| |
8.1 | 150 | b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} |
| |
1.1 | 151 | {{/formula}} |
| 152 | <br><p> | ||
| 153 | {{formula}} | ||
| |
8.1 | 154 | b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max} |
| |
1.1 | 155 | {{/formula}} |
| 156 | </p> | ||
| 157 | //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// | ||
| 158 | {{/detail}} | ||
| 159 | |||
| 160 | |||
| 161 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
8.1 | 162 | Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. |
| 163 | <br> | ||
| 164 | Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: | ||
| 165 | <br> | ||
| 166 | {{formula}} | ||
| 167 | h'(u) = -4 \cdot \sin(u) | ||
| 168 | {{/formula}} | ||
| 169 | <br> | ||
| 170 | Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: | ||
| 171 | <br> | ||
| 172 | {{formula}} | ||
| 173 | y = -4\sin(u)\cdot x + b | ||
| 174 | {{/formula}} | ||
| 175 | <br> | ||
| 176 | Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein: | ||
| 177 | <br> | ||
| 178 | {{formula}} | ||
| 179 | h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b | ||
| 180 | {{/formula}} | ||
| 181 | <br> | ||
| 182 | Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt | ||
| 183 | <br> | ||
| 184 | {{formula}} | ||
| 185 | 4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b | ||
| 186 | {{/formula}} | ||
| 187 | <br> | ||
| 188 | Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: | ||
| 189 | <br> | ||
| 190 | {{formula}} | ||
| 191 | b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 | ||
| 192 | {{/formula}} | ||
| 193 | <p></p> | ||
| 194 | Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion: | ||
| 195 | <br> | ||
| 196 | {{formula}} | ||
| 197 | b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} | ||
| 198 | {{/formula}} | ||
| 199 | <br> | ||
| 200 | Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert: | ||
| 201 | <br> | ||
| 202 | {{formula}} | ||
| 203 | b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3 | ||
| 204 | {{/formula}} | ||
| 205 | <br> | ||
| 206 | Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}: | ||
| 207 | {{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}} | ||
| 208 | <p></p> | ||
| 209 | Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}} | ||
| 210 | <p></p> | ||
| 211 | //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// | ||
| |
1.1 | 212 | {{/detail}} |
| |
2.1 | 213 | |
| 214 | == 1.3 == | ||
| 215 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 216 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 217 | Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} | ||
| 218 | <br><p> | ||
| 219 | Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit | ||
| |
8.1 | 220 | {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert. |
| |
2.1 | 221 | </p> |
| 222 | Daher {{formula}} | ||
| 223 | A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n | ||
| |
3.1 | 224 | {{/formula}}. |
| |
2.1 | 225 | {{/detail}} |
| 226 | |||
| 227 | |||
| 228 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 229 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 230 | {{formula}} | ||
| 231 | 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \ | ||
| 232 | \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100} | ||
| 233 | {{/formula}} | ||
| 234 | <br> | ||
| 235 | liefert | ||
| 236 | <br> | ||
| 237 | {{formula}} | ||
| |
3.1 | 238 | n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98 |
| |
2.1 | 239 | {{/formula}} |
| 240 | <br> | ||
| 241 | Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. | ||
| 242 | {{/detail}} | ||
| 243 | |||
| 244 | |||
| 245 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
8.1 | 246 | Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} |
| 247 | <br> | ||
| 248 | Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: | ||
| 249 | <br> | ||
| 250 | {{formula}} | ||
| 251 | \begin{align*} | ||
| 252 | 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ | ||
| 253 | \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ | ||
| 254 | \Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ | ||
| 255 | \Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ | ||
| 256 | \Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 | ||
| 257 | \end{align*} | ||
| 258 | {{/formula}} | ||
| 259 | <br> | ||
| 260 | Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. | ||
| 261 | <p></p> | ||
| 262 | //Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. // | ||
| |
2.1 | 263 | {{/detail}} |
| 264 | |||
| 265 |