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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 12.1 von akukin am 2026/01/17 12:48
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 2.2 3 {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 <p></p>
akukin 3.1 5 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
akukin 1.1 6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 12.1 10 //Aufgabenstellung//
11 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
12 </p>
13 //Lösung//
14 <br>
akukin 11.2 15 Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
akukin 2.2 16 <p></p>
akukin 4.1 17 Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
akukin 2.2 18 <br>
19 {{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
20 <br>
21 Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
22 <br>
23 {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
24 <p></p>
akukin 4.1 25 Analog ergibt sich der Schnittpunkt mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, indem wir die dritte Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen:
akukin 2.2 26 <br>
27 {{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
28 <br>
29 {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
30 <p></p>
31 Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
akukin 3.1 32 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}.
akukin 1.1 33 {{/detail}}
34
35 === Teilaufgabe b) ===
36 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 2.1 37 <p>
akukin 1.1 38 {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
39 \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
akukin 2.1 40 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
akukin 1.1 41 {{/formula}}
akukin 2.1 42 </p>
akukin 1.1 43 Das LGS
44 {{formula}}
45 \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
46 {{/formula}}
47 hat keine Lösung.
akukin 2.1 48 <br>
akukin 1.1 49 Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
50 {{/detail}}
51
52
53 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 12.1 54 //Aufgabenstellung//
55 {{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
56 Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
57 </p>
58 //Lösung//
59 <br>
akukin 3.1 60 Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
61 <br>
62 {{formula}}
akukin 11.2 63 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
akukin 3.1 64 {{/formula}}
65 <p></p>
66 Somit:
67 <br>
68 {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
69 \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
70 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
71 {{/formula}}
72 <p></p>
73 Wir setzen die beiden Geraden gleich
74 <br>
75 {{formula}}
76 \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
77 {{/formula}}
78 <br>
79 und erhalten dadurch das LGS
80 <br>
81 {{formula}}
82 \begin{array}{rll}
83 -1 + s = 5 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (1) \ s + 4r = 6 \\
84 -2 = -1 + 2r & \quad \Leftrightarrow \quad & (2) \ -2r = 1 \\
85 5 + s = 4 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (3) \ s + 4r = -1
86 \end{array}
87 {{/formula}}
88 <br>
89 Addieren von Zeile {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} führt zu der falschen Aussage {{formula}}0=5{{/formula}}.
90 <br>
91 Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
92 <br>
93 Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind zudem nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
akukin 1.1 94 {{/detail}}
95
96 === Teilaufgabe c) ===
97 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
98 Eine mögliche Lösung ist {{formula}}E: \ \vec x =
99 \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
100 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
101 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
102 {{/formula}}
103 {{/detail}}
104
105
106 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 12.1 107 //Aufgabenstellung//
108 Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
109 </p>
110 //Lösung//
111 <br>
akukin 4.1 112 Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
113 <br>
akukin 5.1 114 Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
akukin 4.1 115 <p></p>
116 Damit die Ebene von {{formula}}C{{/formula}} den Abstand {{formula}}2{{/formula}} hat, wählen wir, ausgehend vom Punkt {{formula}}C(0|3|2){{/formula}}, als Stützvektor entweder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}{{/formula}} oder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}{{/formula}}, damit die Differenz der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten {{formula}}2{{/formula}} ist.
117 <p></p>
akukin 5.1 118 Somit ist eine mögliche Lösung
119 <br>
120 {{formula}}E: \ \vec x =
akukin 4.1 121 \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
122 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
123 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
124 {{/formula}}
125 <br>
126 Eine weitere Lösung wäre
akukin 5.1 127 <br>
akukin 12.1 128 {{formula}}E_2: \ \vec x =
akukin 4.1 129 \begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
130 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
131 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
132 {{/formula}}
akukin 12.1 133
134 <div style="height: 30px;"></div>
135 Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
136 <br>
137 {{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
akukin 1.1 138 {{/detail}}
139
140 === Teilaufgabe d) ===
141 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 Der Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} an.
143 {{/detail}}
144
145
146 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 12.1 147 //Aufgabenstellung//
148 Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
149 <br>
150 Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
151 {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
152 berechnet wird.
153 </p>
154 //Lösung//
155 <br>
akukin 5.1 156 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
157 <br>
akukin 5.2 158 Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
akukin 1.1 159 {{/detail}}
160
161 === Teilaufgabe e) ===
162 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
163 Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
164 <br>
165 {{formula}}
166 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
167 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
akukin 9.1 168 \Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
akukin 1.1 169 {{/formula}}
170 <p>
171 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
172 Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
173 </p>
174 Hinweis:
175 Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
176 {{/detail}}
177
178
179 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 12.1 180 //Aufgabenstellung//
181 Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
182 </p>
183 //Lösung//
184 <br>
akukin 9.1 185 Skizze:
186 <br>
187 [[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
188 <br>
189 Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
190 <br>
191 Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
192 <br>
193 {{formula}}
194 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
195 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
196 {{/formula}}
197 <p></p>
198 Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
199 <br>
200 {{formula}}
201 \begin{align*}
akukin 10.1 202 &\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
203 &\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
204 &\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
akukin 9.1 205 \end{align*}
206 {{/formula}}
207 <p>
208 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
209 Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
210 </p>
211 Hinweis:
212 Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
akukin 1.1 213 {{/detail}}