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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 6.1 von akukin am 2026/01/13 10:50
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 3.1 3 [[image:Lösunga).png||width="150" style="float: right"]]
akukin 1.1 4 <p>
5 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
6 </p><p>
7 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
8 </p><p>
9 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
10 </p>
11 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
12 {{/detail}}
13
14
15 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 4.1 16 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
17 <br>
18 [[image:Lösunga).png||width="150"]]
19 <p></p>
20 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
21 </p><p>
22 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
23 </p>
24 Mindestens zwei bedeutet {{formula}}X\geq 2{{/formula}}. Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:
25 <br>
26 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
akukin 1.1 27 {{/detail}}
28
29 === Teilaufgabe b) ===
30 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
31 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
32 <br>
33 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
34 {{/detail}}
35
36
37 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 4.1 38 Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
39 <br>
40 Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
41 <br>
42 Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
43 <p></p>
44 Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:
45 <br>
46 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
47 <br>
48 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
akukin 1.1 49 {{/detail}}
50
akukin 4.1 51
akukin 1.1 52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
55 <br>
56 {{formula}}E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
57 und
58 {{formula}}\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
59 <br>
60 {{formula}}
61 E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
62 {{/formula}}
63 <br>
64 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
65 {{/detail}}
66
67
68 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 5.1 69 Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
70 <br>
71 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
72 <br>
73 Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
74 <br>
75 Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
76 <p></p>
77 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine halbe Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
78 <br>
79 {{formula}}
80 E(X) + \sigma \approx 269{,}55
81 {{/formula}}
82 <br>
akukin 6.1 83 Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
akukin 5.1 84 <br>
85 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
86 {{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
87 {{/formula}}
88 <br>
89 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
akukin 1.1 90 {{/detail}}
91
92 === Teilaufgabe d) ===
93 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
94 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
95 <br><p>
96 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
97 </p>
98 Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
99 <br>
100 {{formula}}
101 P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01
102 {{/formula}}
103 <br>
104 (% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
105 |{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
106 |29|0,018
107 |30|0,008
108
109 Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
110 {{/detail}}
111
112
113 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 114 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
115 <br><p>
116 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
117 </p>
118 Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
119 <br>
120 {{formula}}
121 \begin{align*}
122 P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
123 \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
124 \Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
125 \Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
126 \end{align*}
127 {{/formula}}
128 <br>
129 //(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
130 <br>
131 Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
132
133 (% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
134 |{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
135 |29|0,018
136 |30|0,008
137
138 Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
akukin 1.1 139 {{/detail}}