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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 7.2 von akukin am 2026/01/18 20:31
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 6.2 3 [[image:Lösunga).png||width="150"]]
akukin 1.1 4 <p>
5 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
6 </p><p>
7 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
8 </p><p>
9 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
10 </p>
11 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
12 {{/detail}}
13
14
15 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 16 //Aufgabenstellung//
17 <br><p>
18 Es werden drei Frühlingsrollen bestellt. Dabei soll untersucht werden, wie viele Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
19 <br>
20 Stelle den Sachverhalt durch ein geeignetes beschriftetes Baumdiagramm dar.
21 <br>
22 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
23 </p>
24 //Lösung//
25 <br>
akukin 4.1 26 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
27 <br>
28 [[image:Lösunga).png||width="150"]]
29 <p></p>
30 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
31 </p><p>
32 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
33 </p>
34 Mindestens zwei bedeutet {{formula}}X\geq 2{{/formula}}. Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:
35 <br>
36 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
akukin 1.1 37 {{/detail}}
38
39 === Teilaufgabe b) ===
40 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
41 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
42 <br>
43 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
44 {{/detail}}
45
46
47 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 48 //Aufgabenstellung//
49 <br><p>
50 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses {{formula}}A{{/formula}} lässt sich wie folgt berechnen:
51 <br>
52 {{formula}} P(A)=1-0,\!83^{20} {{/formula}}
53 <br>
54 Beschreibe in der Anwendungssituation ein passendes Zufallsexperiment sowie ein mögliches Ereignis {{formula}}A{{/formula}}.
55 </p>
56 //Lösung//
57 <br>
akukin 7.2 58 Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
akukin 4.1 59 <br>
60 Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
61 <br>
62 Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
63 <p></p>
64 Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:
65 <br>
66 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
67 <br>
68 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
akukin 1.1 69 {{/detail}}
70
akukin 4.1 71
akukin 1.1 72 === Teilaufgabe c) ===
73 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
74 Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
75 <br>
76 {{formula}}E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
77 und
78 {{formula}}\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
79 <br>
80 {{formula}}
81 E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
82 {{/formula}}
83 <br>
84 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
85 {{/detail}}
86
87
88 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 89 //Aufgabenstellung//
90 <br><p>
91 Die Verbraucherzentrale kontrolliert stichprobenartig das Gewicht der Frühlingsrollen. Dazu werden in einer Stichprobe 1500 Frühlingsrollen untersucht. Es erfolgt eine Beanstandung, wenn die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der zu leichten Frühlingsrollen um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
92 Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Beanstandung.
93 </p>
94 //Lösung//
95 <br>
akukin 5.1 96 Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
97 <br>
98 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
99 <br>
100 Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
101 <br>
102 Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
103 <p></p>
104 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine halbe Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
105 <br>
106 {{formula}}
107 E(X) + \sigma \approx 269{,}55
108 {{/formula}}
109 <br>
akukin 6.1 110 Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
akukin 5.1 111 <br>
112 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
113 {{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
114 {{/formula}}
115 <br>
116 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
akukin 1.1 117 {{/detail}}
118
119 === Teilaufgabe d) ===
120 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
121 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
122 <br><p>
123 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
124 </p>
125 Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
126 <br>
127 {{formula}}
128 P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01
129 {{/formula}}
130 <br>
131 (% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
132 |{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
133 |29|0,018
134 |30|0,008
135
136 Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
137 {{/detail}}
138
139
140 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 7.1 141 //Aufgabenstellung//
142 <br><p>
143 Ermittle die Anzahl an Frühlingsrollen, die man mindestens kaufen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 20 Frühlingsrollen erhält, die das vorgegebene Gewicht einhalten.
144 </p>
145 //Lösung//
146 <br>
akukin 6.1 147 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
148 <br><p>
149 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
150 </p>
151 Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
152 <br>
153 {{formula}}
154 \begin{align*}
155 P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
156 \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
157 \Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
158 \Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
159 \end{align*}
160 {{/formula}}
161 <br>
162 //(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
163 <br>
164 Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
165
166 (% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
167 |{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
168 |29|0,018
169 |30|0,008
170
171 Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
akukin 1.1 172 {{/detail}}