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Wiki-Quellcode von BPE 2 Einheitsübergreifend

Version 161.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/07 00:58
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 7.1 1 {{seiteninhalt/}}
akukin 1.1 2
Martin Rathgeb 161.1 3 {{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 (% class="abc" %)
5 1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 (% class="border slim" %)
7 | |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 |{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 | |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10
11 )))
12 1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 1. (((//Lage//.
14 i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 )))
18 1. (((//Kovariation//.
19 i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 )))
22 )))
23 {{/aufgabe}}
24
Martin Rathgeb 159.1 25 {{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 160.1 26 Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
Martin Rathgeb 158.1 27
Martin Rathgeb 159.1 28 //Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
Martin Rathgeb 131.1 29 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 138.1 30 |[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
Martin Rathgeb 132.1 31
Martin Rathgeb 159.1 32 //Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
Martin Rathgeb 128.1 33 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 149.1 34 |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
Martin Rathgeb 151.1 35
Martin Rathgeb 155.1 36 //Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
Martin Rathgeb 153.1 37
Martin Rathgeb 130.1 38 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 144.1 39 1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
Martin Rathgeb 125.1 40 1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
41 1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
42 1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
43 1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
44 1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
45 1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
46
47 )))
Martin Rathgeb 140.1 48 1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
49 //Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
Martin Rathgeb 118.1 50 {{/aufgabe}}
51
Martin Rathgeb 112.1 52 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Martin Rathgeb 115.1 53 IN PROGRESS
Martin Rathgeb 116.1 54 In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
Martin Rathgeb 112.1 55 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 113.1 56 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
57 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
Martin Rathgeb 112.1 58 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
59 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
60
61 (% class="abc" %)
62 1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
63 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
64 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
65 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
66
67 )))
68 1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
69 1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
70 1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
71
72 )))
73 1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
74 {{/aufgabe}}
75
76
Dirk Tebbe 84.1 77 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
78 Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
Martin Rathgeb 59.1 79
Martin Rathgeb 100.1 80 (% class="abc" %)
Dirk Tebbe 84.1 81 1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
82 1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
83 1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
84 1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
Martin Rathgeb 59.1 85 {{/aufgabe}}
86
Martin Rathgeb 58.1 87 {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 55.1 88 Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
Holger Engels 50.1 89
Martin Rathgeb 100.1 90 (% class="abc" %)
Holger Engels 50.1 91 1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
Martin Rathgeb 56.3 92 1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
Martin Rathgeb 99.1 93 1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
Kim Fujan 57.1 94 1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
Niklas Wunder 20.1 95 {{/aufgabe}}
96
Kim Fujan 63.1 97 {{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}
Niklas Wunder 27.1 98 Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
Niklas Wunder 45.1 99 nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
100
Niklas Wunder 33.1 101 |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
Martin Rathgeb 55.6 102 |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
Niklas Wunder 36.1 103
Martin Rathgeb 101.1 104 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 55.5 105 1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
106 1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
Niklas Wunder 26.1 107 {{/aufgabe}}
108
Kim Fujan 63.1 109 {{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 50.1 110 Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
Niklas Wunder 45.1 111
Niklas Wunder 44.1 112 |=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936
113 |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
114 |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
Niklas Wunder 45.1 115
Martin Rathgeb 101.1 116 (% class="abc" %)
117 1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
118 1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
Niklas Wunder 37.1 119 {{/aufgabe}}
Niklas Wunder 38.1 120
Kim Fujan 64.1 121 {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
122
123 Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
124 [[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]
125
126 Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
127
128 {{lehrende}}
129 **Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
130 Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
131
132 Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
133 Ida: Näherungsweise graphische Lösung
134 Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
135 {{/lehrende}}
136 {{/aufgabe}}
137
Martin Rathgeb 87.1 138
139 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 99.1 140 Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
Martin Rathgeb 108.1 141 Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
Martin Rathgeb 87.1 142
Martin Rathgeb 111.1 143 Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
Martin Rathgeb 93.1 144 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
Martin Rathgeb 101.1 145
Martin Rathgeb 87.1 146 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 110.1 147 1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
148 1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
149 1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
150 1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
Martin Rathgeb 87.1 151 {{/aufgabe}}
152
Holger Engels 64.3 153 {{matrix/}}