Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

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Inhalt

...	...	@@ -6,7 +6,7 @@
6	6	Gestrecke Normalform: Streckfaktor {{formula}}a{{/formula}}
7	7	)))
8	8	1. (((Siehe Tabelle in Teilaufgabe c). )))
9		-1.(((Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen:
	9	+1. (((Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen:
10	10	* Die Zeilen 1 und 2 sind invers zu einander, das heißt, wenn man die Gleichungen in Zeile 1 nach {{formula}}x_S{{/formula}} und {{formula}}y_S{{/formula}} umstellt, so erhält man die Gleichungen in Zeile 2 und andersrum genauso.
11	11	* Die Zeilen 4 und 5 sind invers zu einander
12	12	* Setzt man die Gleichungen aus Zeile 2 in die Gleichungen in Zeile 3 ein, so erhält man die Gleichungen in Zeile 4
...	...	@@ -16,7 +16,7 @@
16	16	|Nr. |Gestreckte Normalform |Scheitelform |Produktform
17	17	|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} |{{formula}}y=(x-2)^2-1{{/formula}} | {{formula}}y=(x-1)(x-3){{/formula}}
18	18	|2 |{{formula}}y=x^2-2x+5{{/formula}}|{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | ↯
19		-|3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2)^2{{/formula}}
	19	+|3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2)(x + 2)=(x + 2)^2{{/formula}}
20	20	|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} |{{formula}}y=-(x-2)^2+3{{/formula}}|{{formula}}y=-(x-(2+\sqrt{3})(x-(2-\sqrt{3})){{/formula}}
21	21	|5 |{{formula}}y=-\pi(x^2-2\pi x+\pi^2){{/formula}}|{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} | {{formula}}y=-\pi(x-\pi)^2{{/formula}}
22	22	|6 |{{formula}}y=-(x^2+2x+5){{/formula}}|{{formula}}y=-(x+1)^2+2{{/formula}}|{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
...	...	@@ -24,3 +24,70 @@
24	24	|8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25	25	|9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26	26	)))
	27	+1. (((
	28	+__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
	29	+Umformen der Scheitelform ergibt:
	30	+{{formula}}
	31	+\begin{align*}
	32	+y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
	33	+ &= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
	34	+ &=a\left(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}\right)
	35	+\end{align*}
	36	+{{/formula}}
	37	+
	38	+Koeffizientenvergleich mit {{formula}}y=a(x^2+px+q){{/formula}} liefert {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} und {{formula}}q=x_S^2+\frac{y_S}{a}=x_S^2+y_S^*{{/formula}}
	39	+
	40	+__Zeile 2 (Gestreckte Normalform zur Scheitelform)__:
	41	+Umstellen von {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} nach {{formula}}x_S{{/formula}} führt zu {{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}}
	42	+Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
	43	+
	44	+//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
	45	+
	46	+__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
	47	+Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
	48	+{{formula}}
	49	+\begin{align*}
	50	+a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
	51	+\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
	52	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
	53	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
	54	+\end{align*}
	55	+{{/formula}}
	56	+
	57	+Durch Wurzelziehen erhalten wir:
	58	+{{formula}}
	59	+\begin{align*}
	60	+x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
	61	+\Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
	62	+\end{align*}
	63	+{{/formula}}
	64	+
	65	+__Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
	66	+Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) die Nullstellen der gestreckten Normalform:
	67	+{{formula}}
	68	+a(x^2+px+q)=0 \\
	69	+\Leftrightarrow x^2+px+q=0 \\
	70	+\RIghtarrow x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot1\cdotq}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
	71	+{{/formula}}
	72	+
	73	+//Alternativ kann man die Gleichungen aus Zeile 2 ({{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}) in die Gleichungen in Zeile 3 ein, um die Gleichungen in Zeile 4 zu erhalten.//
	74	+
	75	+__Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
	76	+Ausmultiplizieren führt zu
	77	+{{formula}}
	78	+\begin{align*}
	79	+y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
	80	+&=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
	81	+&=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
	82	+\end{align*}
	83	+{{/formula}}
	84	+
	85	+Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1)=-(x_1+x_2){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
	86	+
	87	+__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
	88	+Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
	89	+Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
	90	+Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
	91	+{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
	92	+Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
	93	+)))