Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen
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... ... @@ -6,7 +6,7 @@ 6 6 Gestrecke Normalform: Streckfaktor {{formula}}a{{/formula}} 7 7 ))) 8 8 1. (((Siehe Tabelle in Teilaufgabe c). ))) 9 -1. 9 +1.(((Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen: 10 10 * Die Zeilen 1 und 2 sind invers zu einander, das heißt, wenn man die Gleichungen in Zeile 1 nach {{formula}}x_S{{/formula}} und {{formula}}y_S{{/formula}} umstellt, so erhält man die Gleichungen in Zeile 2 und andersrum genauso. 11 11 * Die Zeilen 4 und 5 sind invers zu einander 12 12 * Setzt man die Gleichungen aus Zeile 2 in die Gleichungen in Zeile 3 ein, so erhält man die Gleichungen in Zeile 4 ... ... @@ -16,7 +16,7 @@ 16 16 |Nr. |Gestreckte Normalform |Scheitelform |Produktform 17 17 |1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} |{{formula}}y=(x-2)^2-1{{/formula}} | {{formula}}y=(x-1)(x-3){{/formula}} 18 18 |2 |{{formula}}y=x^2-2x+5{{/formula}}|{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | ↯ 19 -|3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2) (x + 2)=(x + 2)^2{{/formula}}19 +|3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2)^2{{/formula}} 20 20 |4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} |{{formula}}y=-(x-2)^2+3{{/formula}}|{{formula}}y=-(x-(2+\sqrt{3})(x-(2-\sqrt{3})){{/formula}} 21 21 |5 |{{formula}}y=-\pi(x^2-2\pi x+\pi^2){{/formula}}|{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} | {{formula}}y=-\pi(x-\pi)^2{{/formula}} 22 22 |6 |{{formula}}y=-(x^2+2x+5){{/formula}}|{{formula}}y=-(x+1)^2+2{{/formula}}|{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}} ... ... @@ -24,48 +24,3 @@ 24 24 |8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} 25 25 |9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}} 26 26 ))) 27 -1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__: 28 -Umformen der Scheitelform ergibt: 29 -{{formula}} 30 -\begin{align*} 31 -y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\ 32 - &= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\ 33 - &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}) 34 -\end{align*} 35 -{{/formula}} 36 - 37 -Koeffizientenvergleich mit {{formula}}y=a(x^2+px+q){{/formula}} liefert {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} und {{formula}}q=x_S^2+\frac{y_S}{a}=x_S^2+y_S^*{{/formula}} 38 - 39 -__Zeile 2 (Gestreckte Normalform zur Scheitelform)__: 40 -Umstellen von {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} nach {{formula}}x_S{{/formula}} führt zu {{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} 41 -Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}} 42 - 43 -//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.// 44 - 45 -__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__: 46 -Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform: 47 -{{formula}} 48 -\begin{align*} 49 -a(x-x_S)^2+y_S=0 \\ 50 -\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)=0 \\ 51 -\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*=0 \\ 52 -\Leftrightarrow (x-x_S)^2=-y_S^* \\ 53 -\end{align*} 54 -{{/formula}} 55 - 56 -Durch Wurzelziehen erhalten wir: 57 -{{formula}} 58 -\begin{align*} 59 -x-x_S=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\ 60 -\Leftrightarrow x_{1,2}=x_S\pm \sqrt{-y_S^*} 61 -\end{align*} 62 -{{/formula}} 63 - 64 -__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__: 65 -Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar. 66 -Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}. 67 -Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein: 68 -{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\frac{x_2-x_1}{2}\cdot\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}} 69 -Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}. 70 -{{formula}} 71 -)))