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Wiki-Quellcode von BPE 2.2 Transformationen

Version 87.1 von Niklas Wunder am 2024/12/17 14:14
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 === Kompetenzen ===
4 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann anhand von Funktionstermen beschreiben, wie ein Graph mittels Transformationen – unter Berücksichtigung der Reihenfolge – aus dem Graphen der unten aufgeführten Funktionen entsteht
5 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann anhand von Funktionsgraphen beschreiben, wie ein Graph mittels Transformationen – unter Berücksichtigung der Reihenfolge – aus dem Graphen der unten aufgeführten Funktionen entsteht
6 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zu einer verbal gegebenen Transformation den zugehörigen Funktionsterm angeben
7 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zu einer grafisch gegebenen Transformation den zugehörigen Funktionsterm angeben
8 {{formula}}f(x) = x^2{{/formula}}
9 {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}}
10 {{formula}}f(x) = \sqrt{x}{{/formula}}
11
12 {{aufgabe id="Terme bestimmen" afb="I" kompetenzen="K4" zeit="6" quelle="" cc="BY-SA"}}
13 Die Funktionen f, g und h sind verschobene Potenzfunktionen mit den zugehörigen Schaubildern K,,f,,, K,,g,, und K,,h,,. Bestimme die jeweiligen Funktionsterme.
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15 [[image:Transformationen1.png||width="400px"]]
16 {{/aufgabe}}
17
18 {{aufgabe id="Potenzfunktionen verschieben" afb="II" kompetenzen="K1,K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="8" cc="BY-SA"}}
19 Die Funktionen {{formula}}f, g{{/formula}} und {{formula}} h{{/formula}} sind verschobene Potenzfunktionen mit den zugehörigen Schaubildern K,,f,,, K,,g,, und K,,h,,. Beschreibe wie die verschobenen Potenzfunktionen aus den ursprünglichen Funktionen hervorgehen.
20
21 [[image:Transformationen2.png||width="400px"]]
22 {{/aufgabe}}
23
24 {{aufgabe id="Transformationen von Funktionsgraphen beschreiben" afb="I" kompetenzen="K1,K4" quelle="Martin Stern" zeit="6" cc="BY-SA"}}
25 Beschreibe, wie die Schaubilder der nachfolgenden Funktionen jeweils aus dem Graphen {{formula}} y=x^k; k \in \mathbb{Q} {{/formula}} entstanden sind.
26 a) {{formula}}f(x)=6x^4-1{{/formula}}
27 b) {{formula}}f(x)=-\frac{1}{2}(x-5)^4-3{{/formula}}
28 c) {{formula}} f(x)=\frac{1}{(x+3)^2}-8{{/formula}}
29 d) {{formula}}f(x)=-4\,\sqrt[3]{x+1}+5{{/formula}}
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Funktionsterme nach Transformationen bestimmen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Martin Stern" zeit="8" cc="BY-SA"}}
33 Bestimme jeweils einen passenden Funktionsterm.
34
35 a) Der Graph von {{formula}}K_f{{/formula}} entsteht aus dem Graphen {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} durch Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung sowie durch Verschiebung um 1 nach rechts und um 3 nach oben.\\
36 b) Der Graph von {{formula}}K_f{{/formula}} entsteht aus dem Graphen {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} durch Verschiebung um 1 nach rechts und um 3 nach oben, Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung sowie Spiegelung an der x-Achse.\\
37 {{/aufgabe}}
38
39 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
40 Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
41
42 {{formula}}
43 \begin{align*}
44 y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
45 x=\sqrt{y}\;\;
46 {{/formula}}
47 Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
48 {{formula}}
49 y=\sqrt{x}
50 \end{align*}
51 {{/formula}}
52
53 (% class="abc" %)
54 1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
55 1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
56 1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
57 1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
58 {{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
59
60 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
61 {{/aufgabe}}
62
63
64 {{lehrende}}
65 Mit den ausgewählten Aufgaben sollten alle gefordeten Kompetenzen abgedeckt sein. Die Transformation wird nicht nur mit den drei im BP aufgeführten Funktionen, sondern mit allen möglichen Potenzfunktionen durchgeführt.
66 {{/lehrende}}
67
68 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="2" anforderungsbereiche="2" kriterien="5" menge="4"}}