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Lösung Summe und Produkt

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/25 15:52

  1. Für den Mittelwert der gesuchten Zahlen (wir bezeichnen sie zum Beispiel mit x und y) gilt 10=\frac{x+y}{2}.

    Für deren Produkt gilt 100=x\cdot y.
    Wir haben also folgendes Gleichungssystem gegeben:

    \begin{align} \text{(i)} &\ 10&&=\frac{x+y}{2}\\ \text{(ii)} &\ 100&&=x\cdot y \end{align}

    Dieses können wir mit einem beliebigen Verfahren lösen, beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren. Dazu können wir beispielweise Gleichung \text{(i)} nach einer der beiden Variablen auflösen und dann in \text{(ii)} einsetzen:

    \begin{align} 10&=\frac{x+y}{2} &&\mid \cdot 2 \\ 20&=x+y &&\mid -y \\ 20-y&=x \end{align}

    Einsetzen von x=20-y in \text{(i)}:

    \begin{align} 100&=(20-y)y=20y-y^2 \quad \mid -100\\ 0&=-y^2+20y-100 \end{align}

    Die Mitternachtsformel liefert uns y=10. Dieses Ergebnis setzen wir in x=20-y ein und erhalten x=20-10=10.

    Die gesuchten Zahlen sind also
    x=10 und y=10.

    Alternativ kann man auch durch Ausprobieren auf die beiden Zahlen kommen.

  2. Für die Summe der gesuchten Zahlen gilt 20=x+y.

    Für deren Produkt gilt wieder 100=x\cdot y
    Wir haben also folgendes Gleichungssystem gegeben:

    \begin{align} \text{(i)} &\ 20&&=x+y\\ \text{(ii)} &\ 100&&=x\cdot y \end{align}

    Wir lösen wieder mit beispielsweise dem Einsetzungsverfahren (oder durch Probieren/scharfes Hinsehen) und erhalten als Lösung wieder
    x=10 und y=10.

  3. Für die Summe der gesuchten Zahlen gilt 20=x+y.

    Für deren Produkt gilt 91=x\cdot y
    Wir haben also folgendes Gleichungssystem gegeben:

    \begin{align} \text{(i)} &\ 20&&=x+y\\ \text{(ii)} &\ 91&&=x\cdot y \end{align}

    Wir lösen wieder mit beispielsweise dem Einsetzungsverfahren (oder durch Probieren/scharfes Hinsehen) und erhalten als Lösung wieder
    x=13 und y=7.

  4. Für die Summe der gesuchten Zahlen gilt 20=x+y.

    Das arithmetische Mittel ist gegeben durch \frac{x+y}{2}=\frac{20}{2}=10. Hierbei haben wir verwendet, dass die Summe der beiden Zahlen 20 ist.

    Das Quadrat des artihmetischen Mittels der beiden Zahlen ist somit 100.
    Für das Produkt der Zahlen gilt demnach 100-9=x\cdot y

    Wir haben also das gleiche Gleichungssystem gegeben wie in Teilaufgabe c):

    \begin{align} \text{(i)} &\ 20&&=x+y\\ \text{(ii)} &\ 91&&=x\cdot y \end{align}

    Die Lösung ist somit
    x=13 und y=7.

    1. Der Mittelwert der beiden Zahlen ist m=\frac{x+y}{2}
      Wir können x und y schreiben als
      x=m-u
      y=m+u,
      wobei u die Abweichung vom Mittelwert ist.

      Das Produkt ist dann gegeben durch
      x\cdot y=(m-u)(m+u)=m^2-u^2
      Dies stellen wir um nach u und erhalten:

      \begin{align} x\cdoty&=m^2-u^2 &&\mid+u^2 \ \mid-x\cdoty \\ u^2&=m^2-x\cdot y &&\mid \sqrt \\ u&=\pm \sqrt{m^2-x\cdot y} \end{align}

    2. Für die beiden Zahlen ergibt sich:

      x=m-u=m \mp \sqrt{m^2-x\cdot y}=\frac{x+y}{2} \mp \sqrt{\frac{x+y}{2}^2-x\cdot y}

      y=m+u=m \pm \sqrt{m^2-x\cdot y}=\frac{x+y}{2} \pm \sqrt{\frac{x+y}{2}^2-x\cdot y}

  6. Die pq-Formel für die normierte quadratische Gleichung x^2+px+q=0 ist gegeben durch
    x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

    Bezeichnen wir in Teilaufgabe e) das Produkt der Zahlen (x\cdot y) mit q und die Summe der Zahlen (x+y) mit p (und x mit x_1, y mit y_2), so erhalten wir in 2. die pq-Formel.